texmf/realcalc.tex

   1 %% realcalc.tex
   2 %%
   3 %% (C) Frank Buchholz, Jan. 1993
   4 %% e-mail: buchholz@lusty.informatik.uni-dortmund.de
   5 %  User documentation: All lines starting with two %
   6 %  Try grep to extract these lines.
   7 %%
   8 %% Real arithmetic with big values and high precision.
   9 %% Calculations are done with 9 decimal digits.
  10 %% Usable with TeX and LaTeX.
  11 %%
  12 %% Parameter:
  13 %%
  14 %%      <macro> Macro, witch catches the result.
  15 %%      <value> String or macro witch expands to a value in the range
  16 %%                  from -2147483647.999999999 to 2147483647.999999999
  17 %%      <precision> Number from 0 to 9
  18 %%
  19 %% Functions:
  20 %%
  21
  22 % Don't read this file twice
  23 \ifx\Radd\undefined \else \endinput \fi
  24
  25 % Make "@" be a letters
  26 \chardef\catamp=\the\catcode`\@
  27 \catcode`@=11
  28
  29 \def\@Rversion{Version 1.0, Jan. 1993}
  30 \message{`Real arithmetic', \@Rversion (C) Frank Buchholz}
  31
  32 % Allocation of temporary registers
  33 \newcount\@ta
  34 \newcount\@tb
  35 %
  36 \newcount\@xs   % Sign of 1st value
  37 \newcount\@xi   % Integer part of 1st value
  38 \newcount\@xf   % Fractional part of 1st value
  39 %
  40 \newcount\@ys   % Sign of 2nd value
  41 \newcount\@yi   % Integer part of 2nd value
  42 \newcount\@yf   % Fractional part of 2nd value
  43 %
  44 \newcount\@mil  \@mil=1000000000        % 10^9
  45 %
  46 \countdef\@xa240
  47 \countdef\@xb241
  48 \countdef\@xc242
  49 \countdef\@xd243
  50 \countdef\@xe244
  51 \countdef\@ya245
  52 \countdef\@yb246
  53 \countdef\@yc247
  54 \countdef\@yd248
  55 \countdef\@ye249
  56 \let\@f=\@tb
  57 \let\@product=\@ta
  58
  59 \chardef\@zero=0
  60
  61 %%      \Radd<macro><value><value>              Addition
  62 \def\Radd#1#2#3{\@callc\@Radd#1{#2}{#3}}
  63
  64 %%      \Rsub<macro><value><value>              Subtraction
  65 \def\Rsub#1#2#3{\@callc\@Radd#1{#2}{-#3}}
  66
  67 \def\@Radd#1#2.#3.#4\relax#5.#6.#7\relax{%
  68   % #1 Macro, witch gets the result
  69   % #2 integer part of 1st value
  70   % #3 fractional part of 1st value
  71   % #4 dummy to swallow everthing after the 2nd '.'
  72   % #5 integer part of 2nd value
  73   % #6 fractional part of 2nd value
  74   % #7 dummy to swallow everthing after the 2nd '.'
  75   %
  76   \@readvalue\@xs\@xi\@xf{#2}{#3}%
  77   \@readvalue\@ys\@yi\@yf{#5}{#6}%
  78   %
  79   % Add integer parts
  80   \@ta=\@xi \advance\@ta\@yi%
  81   %
  82   % Add fractional parts if they are not zero
  83   \ifnum\@xf=\@zero%
  84     \ifnum\@yf=\@zero%
  85       \@tb=\@zero%
  86     \else%
  87       \@longadd%
  88     \fi%
  89   \else%
  90     \@longadd%
  91   \fi%
  92   %
  93   % Store result
  94   \@store#1\@ta\@tb%
  95 }
  96
  97 \def\@longadd{%
  98     % Propagate sign to fractional parts
  99     \multiply\@xf\@xs \multiply\@yf\@ys%
 100     %
 101     % Add fractional parts
 102     \@tb=\@xf \advance\@tb\@yf%
 103     %
 104     % Calculate carry
 105     \ifnum\@tb<\@zero%
 106       \ifnum\@tb<-\@mil      \advance\@ta -\@ne \advance\@tb\@mil  \fi%
 107     \else%
 108       \ifnum\@tb<\@mil \else \advance\@ta \@ne  \advance\@tb-\@mil \fi%
 109     \fi%
 110 }
 111
 112 %%      \Rmul<macro><value><value>              Multiplication
 113 \def\Rmul#1#2#3{\@callc\@Rmul#1{#2}{#3}}
 114
 115 \def\@Rmul#1#2.#3.#4\relax#5.#6.#7\relax{%
 116   % #1 Macro, witch gets the result
 117   % #2 integer part of 1st value
 118   % #3 fractional part of 1st value
 119   % #4 dummy to swallow everthing after the 2nd '.'
 120   % #5 integer part of 2nd value
 121   % #6 fractional part of 2nd value
 122   % #7 dummy to swallow everthing after the 2nd '.'
 123   %
 124   % How to do real multiplications:
 125   % Split values in various parts
 126   % x y = 1234 567890 . 123 456 789
 127   % ->    xa   xb       xc  xd  xe
 128   % ->    ya   yb       yc  yd  ye
 129   % Do 21 (!) integer multiplications if there are any fractional parts
 130   % r = x * Y
 131   % -> r =   xi*yi
 132   %        + (xa*yc + xa*yc                  )*10^3
 133   %        + (xa*yd + xd*ya                  )*10^-0
 134   %        + (xa*ye + xe*ya  +  xb*yc + xc*yb)*10^-3
 135   %        + (xb*yd + xd*yb  +  xc*yc        )*10^-6
 136   %        + (xb*ye + xe*yb  +  xc*yd + xd*yc)*10^-9
 137   %        + (xc*ye + xe*yc  +  xd*yd        )*10^-12
 138   %        + (xd*ye + xe*yd                  )*10^-15
 139   %        + (xe*ye                          )*10^-18
 140   %
 141   % -> r = ((((( xe*ye                               / 1000
 142   %             + xd*ye + xe*yd                   ) / 1000
 143   %            + xc*ye + xe*yc  +  xd*yd         ) / 1000
 144   %           + xb*ye + xe*yb  +  xc*yd + xd*yc ) / 1000
 145   %          + xb*yd + xd*yb  +  xc*yc         ) / 1000
 146   %         + xa*ye + ye*xa  +  xb*yc + xc*yb ) / 1000
 147   %        + xa*yd + xd*ya + (xa*yc + ya*xc)*1000 + xi*yi
 148   % The last three digigs are saved just before the divisions.
 149   %
 150   % Init
 151   %
 152   \@readvalue\@xs\@xi\@xf{#2}{#3}%
 153   \@readvalue\@ys\@yi\@yf{#5}{#6}%
 154   %
 155   % Sign
 156   \multiply\@xi\@xs%
 157   \multiply\@yi\@ys%
 158   \multiply\@xs\@ys%
 159   %
 160   \@product=\@zero%
 161   %
 162   \ifnum\@xf=\@zero%
 163     \ifnum\@yf=\@zero%
 164       % No fractional parts
 165       \edef\@frac{000000000}    % digits of fractional part
 166     \else%
 167       \@longmul                 % Long multiplication
 168     \fi%
 169   \else%
 170     \@longmul                   % Long multiplication
 171   \fi%
 172   %
 173   % Multiply integer parts
 174   \count@=\@xi \multiply\count@\@yi%
 175   \advance\@product\count@%
 176   %
 177   % Sign
 178   \multiply\@product\@xs%
 179   %
 180   % Store result
 181   \edef#1{\number\@product.\@frac}%
 182 }
 183
 184 % Do long multiplication
 185 \def\@longmul{%
 186     % Split values in pieces
 187     \@f=1000000%
 188     \count@=\@xi%
 189     \divide\count@\@f                                   \@xa=\count@%
 190     \multiply\count@-\@f        \advance\count@\@xi     \@xb=\count@%
 191     \count@=\@xf%
 192     \divide\count@\@f                                   \@xc=\count@%
 193     \multiply\count@-\@f        \advance\count@\@xf%
 194     \@f=1000%
 195     \@xe=\count@%
 196     \divide\count@\@f                                   \@xd=\count@%
 197     \multiply\count@-\@f        \advance\count@\@xe     \@xe=\count@%
 198     %
 199     \@f=1000000%
 200     \count@=\@yi%
 201     \divide\count@\@f                                   \@ya=\count@%
 202     \multiply\count@-\@f        \advance\count@\@yi     \@yb=\count@%
 203     \count@=\@yf%
 204     \divide\count@\@f                                   \@yc=\count@%
 205     \multiply\count@-\@f        \advance\count@\@yf%
 206     \@f=1000%
 207     \@ye=\count@%
 208     \divide\count@\@f                                   \@yd=\count@%
 209     \multiply\count@-\@f        \advance\count@\@ye     \@ye=\count@%
 210     %
 211     \edef\@frac{}                               % digits of fractional part
 212     %
 213     \@mul ee          \relax\@shift             % 10^-18
 214     \@mul de ed       \relax\@shift             % 10^-15
 215     \@mul ce ec dd    \relax\@shift             % 10^-12
 216     \@mul be eb cd dc \relax\@saveshift         % 10^-9
 217     \@mul bd db cc    \relax\@saveshift         % 10^-6
 218     \@mul ae ea bc cb \relax\@saveshift         % 10^-3
 219     \multiply\@xa\@f  \multiply\@xc\@f          % 10^3
 220     \@mul ad da ac ca \relax%
 221 }
 222
 223 \def\@mul#1#2#3{%
 224   \count@=\csname @x#1\endcsname%
 225   \multiply\count@\csname @y#2\endcsname%
 226   \advance\@product\count@%
 227   %
 228   \ifx#3\relax%
 229     \let\next=\relax%
 230   \else%
 231     \let\next=\@mul%
 232   \fi%
 233   \next#3%
 234 }
 235
 236 \def\@shift{%
 237   \divide\@product\@f%
 238 }
 239
 240 \def\@saveshift{%
 241   % Save rightmost digits
 242   \count@=\@product%
 243   \divide\@product\@f%
 244   \multiply\@product\@f%
 245   \advance\count@-\@product%
 246   \advance\count@\@f%
 247   \edef\@frac{\expandafter\@ignorenext\number\count@\@frac}%
 248   %
 249   \divide\@product\@f%
 250 }
 251
 252 %%      \Rdiv<macro><value><value>              Division
 253 \def\Rdiv#1#2#3{\@callc\@Radd#1{#2}{#3}}
 254
 255 \def\@Rdiv#1#2.#3.#4\relax#5.#6.#7\relax{%
 256   % #1 Macro, witch gets the result
 257   % #2 integer part of 1st value
 258   % #3 fractional part of 1st value
 259   % #4 dummy to swallow everthing after the 2nd '.'
 260   % #5 integer part of 2nd value
 261   % #6 fractional part of 2nd value
 262   % #7 dummy to swallow everthing after the 2nd '.'
 263   %
 264   \message{Error: Rdiv not ready}
 265   %
 266   \@readvalue\@xs\@xi\@xf{#2}{#3}%
 267   \@readvalue\@ys\@yi\@yf{#5}{#6}%
 268   %
 269   \ifnum\@yi=\@zero
 270     \@xi=\@zero
 271   \else
 272     \divide\@xi\@yi
 273   \fi
 274   %
 275   \@store#1\@xi\@xf%
 276 }
 277
 278 %%      \Rneg<macro><value>             Negation
 279 \def\Rneg#1#2{%
 280   % Expand the value and split it into the integer and the fractional part
 281   \edef\next{\noexpand\@Rneg\noexpand#1#2..\noexpand\relax}%
 282   \next%
 283 }
 284
 285 \def\@Rneg#1#2.#3.#4\relax{
 286   % #1 Macro, witch gets the result
 287   % #2 Integer part of value
 288   % #3 Fractional part of value
 289   % #4 Remaining tokens
 290   %
 291   \@readvalue\@xs\@xi\@xf{#2}{#3}%
 292   %
 293   % Change sign
 294   \multiply\@xi-\@ne%
 295   \multiply\@xf-\@xs%
 296   %
 297   % Store result
 298   \@store#1\@xi\@xf%
 299 }
 300
 301 %%
 302 %%      \Rtrunc<macro><precision><value> Truncate value to specified precision
 303 \def\Rtrunc#1#2#3{%
 304   % Expand parameter and split the value into the integer and fractional part
 305   \edef\next{\noexpand\@Rtrunc\noexpand#1#2#3..\noexpand\relax}%
 306   \next%
 307 }
 308
 309 \def\@Rtrunc#1#2#3.#4.#5\relax{%
 310   % #1 Macro, witch gets the result
 311   % #2 Number of decimal places
 312   % #3 Integer part of value
 313   % #4 Fractional part of value
 314   % #5 dummy to swallow everthing after the 2nd '.'
 315   %
 316   \count@=#2%
 317   \edef\next{\empty}%
 318   \ifnum\count@>\@zero%
 319     \expandafter\@@Rtrunc#4000000000\relax%
 320   \fi%
 321   \edef#1{#3\next}%
 322 }
 323
 324 \def\@@Rtrunc#1#2#3#4#5#6#7#8#9{%
 325   % #1...#9 fractional part, padded with trailing zeros
 326   \edef\next{.#1%
 327     \ifnum\count@>1 #2\fi%
 328     \ifnum\count@>2 #3\fi%
 329     \ifnum\count@>3 #4\fi%
 330     \ifnum\count@>4 #5\fi%
 331     \ifnum\count@>5 #6\fi%
 332     \ifnum\count@>6 #7\fi%
 333     \ifnum\count@>7 #8\fi%
 334     \ifnum\count@>8 #9\fi%
 335   }%
 336   \@swallow%
 337 }
 338
 339 %%
 340 %%      \Rifle<value><value>            Test v1 < v2
 341 \def\Rifle#1#2{\@callb\@Rifle{#1}{#2}}
 342
 343 \def\@Rifle#1.#2.#3\relax#4.#5.#6\relax{%
 344   % #1 integer part of 1st value
 345   % #2 fractional part of 1st value
 346   % #3 dummy to swallow everthing after the 2nd '.'
 347   % #4 integer part of 2nd value
 348   % #5 fractional part of 2nd value
 349   % #6 dummy to swallow everthing after the 2nd '.'
 350   %
 351   \@readvalue\@xs\@xi\@xf{#1}{#2}%
 352   \@readvalue\@ys\@yi\@yf{#4}{#5}%
 353   %
 354   \ifnum\@xs<\@ys%
 355     \Rtesttrue%
 356   \else%
 357     \ifnum\@xs>\@ys%
 358       \Rtestfalse%
 359     \else%
 360       \Rtestfalse%
 361       \ifnum\@xi<\@yi \Rtesttrue \fi%
 362       \ifnum\@xi=\@yi%
 363         \multiply\@xf\@xs \multiply\@yf\@ys%
 364         \ifnum\@xf<\@yf \Rtesttrue \fi%
 365       \fi%
 366     \fi%
 367   \fi%
 368   %
 369   \ifRtest%
 370 }
 371
 372 %%      \Rifeq<value><value>            Test v1 = v2
 373 \def\Rifeq#1#2{\@callb\@Rifeq{#1}{#2}}
 374
 375 \def\@Rifeq#1.#2.#3\relax#4.#5.#6\relax{%
 376   % #1 integer part of 1st value
 377   % #2 fractional part of 1st value
 378   % #3 dummy to swallow everthing after the 2nd '.'
 379   % #4 integer part of 2nd value
 380   % #5 fractional part of 2nd value
 381   % #6 dummy to swallow everthing after the 2nd '.'
 382   %
 383   \@readvalue\@xs\@xi\@xf{#1}{#2}%
 384   \@readvalue\@ys\@yi\@yf{#4}{#5}%
 385   %
 386   \Rtestfalse%
 387   \ifnum\@xi=\@yi\ifnum\@xf=\@yf \Rtesttrue \fi\fi%
 388   \ifRtest%
 389 }
 390
 391 %%      \Rifgt<value><value>            Test v1 > v2
 392 \def\Rifgt#1#2{\@callb\@Rifgt{#1}{#2}}
 393
 394 \def\@Rifgt#1.#2.#3\relax#4.#5.#6\relax{%
 395   % #1 integer part of 1st value
 396   % #2 fractional part of 1st value
 397   % #3 dummy to swallow everthing after the 2nd '.'
 398   % #4 integer part of 2nd value
 399   % #5 fractional part of 2nd value
 400   % #6 dummy to swallow everthing after the 2nd '.'
 401   %
 402   \@readvalue\@xs\@xi\@xf{#1}{#2}%
 403   \@readvalue\@ys\@yi\@yf{#4}{#5}%
 404   %
 405   \ifnum\@xs>\@ys%
 406     \Rtesttrue%
 407   \else%
 408     \ifnum\@xs<\@ys%
 409       \Rtestfalse%
 410     \else%
 411       \Rtestfalse%
 412       \ifnum\@xi>\@yi \Rtesttrue \fi%
 413       \ifnum\@xi=\@yi%
 414         \multiply\@xf\@xs \multiply\@yf\@ys%
 415         \ifnum\@xf>\@yf \Rtesttrue \fi%
 416       \fi%
 417     \fi%
 418   \fi%
 419   %
 420   \ifRtest%
 421 }
 422
 423 %%      \Rifneg<value>                  Test v < 0
 424 \def\Rifneg#1{\@calla\@Rifneg{#1}}
 425
 426 \def\@Rifneg#1.#2.#3\relax{%
 427   % #1 Integer part of value
 428   % #2 Fractional part of value
 429   % #3 dummy to swallow everthing after the 2nd '.'
 430    %
 431    \@readvalue\@xs\@xi\@xf{#1}{#2}%
 432    %
 433    \ifnum\@xs<0 \Rtesttrue \else \Rtestfalse \fi%
 434    \ifRtest%
 435  }
 436
 437 %%      \Rifzero<value>                 Test v = 0
 438 \def\Rifzero#1{\@calla\@Rifzero{#1}}
 439
 440 \def\@Rifzero#1.#2.#3\relax{%
 441   % #1 Integer part of value
 442   % #2 Fractional part of value
 443   % #3 dummy to swallow everthing after the 2nd '.'
 444   %
 445   \@readvalue\@xs\@xi\@xf{#1}{#2}%
 446   %
 447   \Rtestfalse%
 448   \ifnum\@xi=\@zero \ifnum\@xf=\@zero \Rtesttrue \fi \fi%
 449   \ifRtest%
 450 }
 451
 452 %%      \Rifpos<value>                  Test v >= 0
 453 %%                                      Take care to have a corresponding \fi
 454 \def\Rifpos#1{\@calla\@Rifpos{#1}}
 455
 456 \def\@Rifpos#1.#2.#3\relax{%
 457   % #1 Integer part of value
 458   % #2 Fractional part of value
 459   % #3 dummy to swallow everthing after the 2nd '.'
 460   %
 461   \@readvalue\@xs\@xi\@xf{#1}{#2}%
 462   %
 463   \ifnum\@xs<0 \Rtestfalse \else \Rtesttrue \fi%
 464   \ifRtest%
 465 }
 466
 467 %%      \Rifint<value>                  Test v is an integer value
 468 %%                                      Take care to have a corresponding \fi
 469 \def\Rifint#1{\@calla\@Rifint{#1}}
 470
 471 \def\@Rifint#1.#2.#3\relax{%
 472   % #1 Integer part of value
 473   % #2 Fractional part of value
 474   % #3 dummy to swallow everthing after the 2nd '.'
 475   %
 476   \@readvalue\@xs\@xi\@xf{#1}{#2}%
 477   %
 478   \ifnum\@xf=0 \Rtesttrue \else \Rtestfalse \fi%
 479   \ifRtest%
 480 }
 481
 482 % Utility macros
 483
 484 \def\@calla#1#2{%
 485   % #1 Macro to call
 486   % #2 Value
 487   % Expand the value and split them into the integer and the fractional part
 488   \edef\next{\noexpand#1#2..\noexpand\relax}%
 489   \next%
 490 }
 491
 492 \def\@callb#1#2#3{%
 493   % #1 Macro to call
 494   % #2 1st value
 495   % #3 2nd value
 496   % Expand the values and split them into the integer and the fractional parts
 497   \edef\next{\noexpand#1#2..\noexpand\relax#3..\noexpand\relax}%
 498   \next%
 499 }
 500
 501 \def\@callc#1#2#3#4{%
 502   % #1 Macro to call
 503   % #2 Macro, witch gets the result
 504   % #3 1st value
 505   % #4 2nd value
 506   % Expand the values and split them into the integer and the fractional parts
 507   \edef\next{\noexpand#1\noexpand#2#3..\noexpand\relax#4..\noexpand\relax}%
 508   \next%
 509 }
 510
 511 %%      \ifRtest ... \else ... \fi      Re-execute the last test
 512 \newif\ifRtest
 513
 514 %
 515 % Read value
 516 %
 517 \def\@readvalue#1#2#3#4#5{%
 518   % #1    macro to catch the sign ( -1 or 1 )
 519   % #2    macro to catch the integer part (maybe negative)
 520   % #3    macro to catch the fractional part (positive)
 521   % #4.#5 value
 522   %
 523   % Regular expression [-...d]d...["."[d...]]
 524   % Attention: There has to be at least one digit between "-" and "."!
 525   %
 526   % Integer part
 527   \if !#4! #2=\@zero \else #2=#4 \fi%
 528   %
 529   % Sign
 530   \ifnum#2<\@zero #1=-\@ne \else #1=\@ne \fi%
 531   \ifnum#2=\@zero \ifnum #4#5<\@zero #1=-\@ne \fi \fi%
 532   %
 533   % Fractional part
 534   \if !#5!%
 535     #3=\@zero%
 536   \else%
 537     \@@setcount@#5000000000\relax%
 538     #3=\count@%
 539   \fi%
 540 }
 541
 542 % Set count@ to fractional part with trailing zeros
 543 \def\@@setcount@#1#2#3#4#5#6#7#8#9{%
 544   % #1...#9 fractional part, padded with '0'
 545   \count@=#1#2#3#4#5#6#7#8#9%
 546   \@swallow%
 547 }
 548
 549 % Swallow everything up to next \relax
 550 \def\@swallow#1\relax{}
 551
 552 %
 553 % Store result
 554 %
 555 \def\@store#1#2#3{%
 556   % #1 marcro to catch the result
 557   % #2 counter with integer part (maybe negative)
 558   % #3 counter with fractional part (maybe negative}
 559   %
 560   % Sign
 561   \edef#1{}%
 562   \count@=#3%
 563   \ifnum\count@<\@zero%
 564     \count@=-\count@%
 565     \ifnum#2=\@zero%
 566       \edef#1{-}%
 567     \fi%
 568   \fi%
 569   %
 570   % Pad fractional part with leading zeros
 571   \advance\count@\@mil%
 572   %
 573   % Store result
 574   \edef#1{#1\number#2.\expandafter\@ignorenext\number\count@}%
 575 }
 576
 577 % Ignore next token
 578 \def\@ignorenext#1{}
 579
 580 % Restore catcode of "@"
 581 \catcode`\@=\catamp