lily/beam.cc

   1 /*
   2   beam.cc -- implement Beam
   3
   4   source file of the GNU LilyPond music typesetter
   5
   6   (c) 1997--2005 Han-Wen Nienhuys <hanwen@cs.uu.nl>
   7   Jan Nieuwenhuizen <janneke@gnu.org>
   8 */
   9
  10 /*
  11   TODO:
  12
  13   - Determine auto knees based on positions if it's set by the user.
  14
  15   - the code is littered with * and / staff_space calls for
  16   #'positions. Consider moving to real-world coordinates?
  17
  18   Problematic issue is user tweaks (user tweaks are in staff-coordinates.)
  19
  20   Notes:
  21
  22   - Stems run to the Y-center of the beam.
  23
  24   - beam_translation is the offset between Y centers of the beam.
  25 */
  26
  27 #include <math.h> // tanh.
  28
  29 #include "beam.hh"
  30 #include "interval-set.hh"
  31 #include "directional-element-interface.hh"
  32 #include "beaming.hh"
  33 #include "misc.hh"
  34 #include "least-squares.hh"
  35 #include "stem.hh"
  36 #include "output-def.hh"
  37 #include "lookup.hh"
  38 #include "group-interface.hh"
  39 #include "staff-symbol-referencer.hh"
  40 #include "item.hh"
  41 #include "spanner.hh"
  42 #include "warn.hh"
  43
  44 #if DEBUG_QUANTING
  45 #include "text-item.hh" // debug output.
  46 #include "font-interface.hh" // debug output.
  47 #endif
  48
  49 void
  50 Beam::add_stem (Grob *me, Grob *s)
  51 {
  52   Pointer_group_interface::add_grob (me, ly_symbol2scm ("stems"), s);
  53
  54   s->add_dependency (me);
  55
  56   assert (!Stem::get_beam (s));
  57   s->set_property ("beam", me->self_scm ());
  58
  59   add_bound_item (dynamic_cast<Spanner *> (me), dynamic_cast<Item *> (s));
  60 }
  61
  62 Real
  63 Beam::get_thickness (Grob *me)
  64 {
  65   return robust_scm2double (me->get_property ("thickness"), 0)
  66     * Staff_symbol_referencer::staff_space (me);
  67 }
  68
  69 /* Return the translation between 2 adjoining beams. */
  70 Real
  71 Beam::get_beam_translation (Grob *me)
  72 {
  73   SCM func = me->get_property ("space-function");
  74
  75   if (ly_c_procedure_p (func))
  76     {
  77       SCM s = scm_call_2 (func, me->self_scm (), scm_int2num (get_beam_count (me)));
  78       return scm_to_double (s);
  79     }
  80   else
  81     {
  82       return 0.81;
  83     }
  84 }
  85
  86 /* Maximum beam_count. */
  87 int
  88 Beam::get_beam_count (Grob *me)
  89 {
  90   int m = 0;
  91   for (SCM s = me->get_property ("stems"); scm_is_pair (s); s = scm_cdr (s))
  92     {
  93       Grob *stem = unsmob_grob (scm_car (s));
  94       m = m >? (Stem::beam_multiplicity (stem).length () + 1);
  95     }
  96   return m;
  97 }
  98
  99 /*
 100   Space return space between beams.
 101 */
 102 MAKE_SCHEME_CALLBACK (Beam, space_function, 2);
 103 SCM
 104 Beam::space_function (SCM smob, SCM beam_count)
 105 {
 106   Grob *me = unsmob_grob (smob);
 107
 108   Real staff_space = Staff_symbol_referencer::staff_space (me);
 109   Real line = Staff_symbol_referencer::line_thickness (me);
 110   Real thickness = get_thickness (me);
 111
 112   Real beam_translation = scm_to_int (beam_count) < 4
 113     ? (2 * staff_space + line - thickness) / 2.0
 114     : (3 * staff_space + line - thickness) / 3.0;
 115
 116   return scm_make_real (beam_translation);
 117 }
 118
 119 /* After pre-processing all directions should be set.
 120    Several post-processing routines (stem, slur, script) need stem/beam
 121    direction.
 122    Currenly, this means that beam has set all stem's directions.
 123    [Alternatively, stems could set its own directions, according to
 124    their beam, during 'final-pre-processing'.] */
 125 MAKE_SCHEME_CALLBACK (Beam, before_line_breaking, 1);
 126 SCM
 127 Beam::before_line_breaking (SCM smob)
 128 {
 129   Grob *me = unsmob_grob (smob);
 130
 131   /* Beams with less than 2 two stems don't make much sense, but could happen
 132      when you do
 133
 134      [r8 c8 r8].
 135
 136      For a beam that  only has one stem, we try to do some disappearance magic:
 137      we revert the flag, and move on to The Eternal Engraving Fields. */
 138
 139   int count = visible_stem_count (me);
 140   if (count < 2)
 141     {
 142       me->warning (_ ("beam has less than two visible stems"));
 143
 144       SCM stems = me->get_property ("stems");
 145       if (scm_ilength (stems) == 1)
 146         {
 147           me->warning (_ ("removing beam with less than two stems"));
 148
 149           unsmob_grob (scm_car (stems))->set_property ("beam", SCM_EOL);
 150           me->suicide ();
 151
 152           return SCM_UNSPECIFIED;
 153         }
 154       else if (scm_ilength (stems) == 0)
 155         {
 156           me->suicide ();
 157           return SCM_UNSPECIFIED;
 158         }
 159     }
 160   if (count >= 1)
 161     {
 162       Direction d = get_default_dir (me);
 163
 164       consider_auto_knees (me);
 165       set_stem_directions (me, d);
 166
 167       connect_beams (me);
 168
 169       set_stem_shorten (me);
 170     }
 171
 172   return SCM_EOL;
 173 }
 174
 175 /* We want a maximal number of shared beams, but if there is choice, we
 176  * take the one that is closest to the end of the stem. This is for
 177  * situations like
 178  *
 179  *        x
 180  *       |
 181  *       |
 182  *   |===|
 183  *   |=
 184  *   |
 185  *  x
 186  */
 187 int
 188 position_with_maximal_common_beams (SCM left_beaming, SCM right_beaming,
 189                                     Direction left_dir,
 190                                     Direction right_dir)
 191 {
 192   Slice lslice = int_list_to_slice (scm_cdr (left_beaming));
 193
 194   int best_count = 0;
 195   int best_start = 0;
 196   for (int i = lslice[-left_dir];
 197        (i - lslice[left_dir]) * left_dir <= 0; i += left_dir)
 198     {
 199       int count = 0;
 200       for (SCM s = scm_car (right_beaming); scm_is_pair (s); s = scm_cdr (s))
 201         {
 202           int k = -right_dir * scm_to_int (scm_car (s)) + i;
 203           if (scm_c_memq (scm_int2num (k), left_beaming) != SCM_BOOL_F)
 204             count++;
 205         }
 206
 207       if (count >= best_count)
 208         {
 209           best_count = count;
 210           best_start = i;
 211         }
 212     }
 213
 214   return best_start;
 215 }
 216
 217 void
 218 Beam::connect_beams (Grob *me)
 219 {
 220   Link_array<Grob> stems
 221     = extract_grob_array (me, ly_symbol2scm ("stems"));
 222
 223   Slice last_int;
 224   last_int.set_empty ();
 225   SCM last_beaming = SCM_EOL;
 226   Direction last_dir = CENTER;
 227   for (int i = 0; i < stems.size (); i++)
 228     {
 229       Grob *this_stem = stems[i];
 230       SCM this_beaming = this_stem->get_property ("beaming");
 231
 232       Direction this_dir = get_grob_direction (this_stem);
 233       if (scm_is_pair (last_beaming) && scm_is_pair (this_beaming))
 234         {
 235           int start_point = position_with_maximal_common_beams
 236             (last_beaming, this_beaming,
 237              last_dir, this_dir);
 238
 239           Direction d = LEFT;
 240           Slice new_slice;
 241           do
 242             {
 243               if (d == RIGHT && i == stems.size () - 1)
 244                 continue;
 245
 246               new_slice.set_empty ();
 247               SCM s = index_get_cell (this_beaming, d);
 248               for (; scm_is_pair (s); s = scm_cdr (s))
 249                 {
 250                   int new_beam_pos
 251                     = start_point - this_dir * scm_to_int (scm_car (s));
 252
 253                   new_slice.add_point (new_beam_pos);
 254                   scm_set_car_x (s, scm_int2num (new_beam_pos));
 255                 }
 256             }
 257           while (flip (&d) != LEFT);
 258
 259           if (!new_slice.is_empty ())
 260             last_int = new_slice;
 261         }
 262       else
 263         {
 264           scm_set_car_x (this_beaming, SCM_EOL);
 265           SCM s = scm_cdr (this_beaming);
 266           for (; scm_is_pair (s); s = scm_cdr (s))
 267             {
 268               int np = -this_dir * scm_to_int (scm_car (s));
 269               scm_set_car_x (s, scm_int2num (np));
 270               last_int.add_point (np);
 271             }
 272         }
 273
 274       if (i == stems.size () -1)
 275         {
 276           scm_set_cdr_x (this_beaming, SCM_EOL);
 277         }
 278
 279       if (scm_ilength (scm_cdr (this_beaming)) > 0)
 280         {
 281           last_beaming = this_beaming;
 282           last_dir = this_dir;
 283         }
 284     }
 285 }
 286
 287 /*
 288   TODO: should not make beams per stem, but per Y-level.
 289 */
 290 MAKE_SCHEME_CALLBACK (Beam, print, 1);
 291 SCM
 292 Beam::print (SCM grob)
 293 {
 294   Spanner *me = unsmob_spanner (grob);
 295   position_beam (me);
 296
 297   Link_array<Grob> stems
 298     = extract_grob_array (me, ly_symbol2scm ("stems"));
 299   Grob *xcommon = common_refpoint_of_array (stems, me, X_AXIS);
 300
 301   xcommon = me->get_bound (LEFT)->common_refpoint (xcommon, X_AXIS);
 302   xcommon = me->get_bound (RIGHT)->common_refpoint (xcommon, X_AXIS);
 303
 304   Real x0, dx;
 305   if (visible_stem_count (me))
 306     {
 307       // ugh -> use commonx
 308       x0 = first_visible_stem (me)->relative_coordinate (xcommon, X_AXIS);
 309       dx = last_visible_stem (me)->relative_coordinate (xcommon, X_AXIS) - x0;
 310     }
 311   else
 312     {
 313       x0 = stems[0]->relative_coordinate (xcommon, X_AXIS);
 314       dx = stems.top ()->relative_coordinate (xcommon, X_AXIS) - x0;
 315     }
 316
 317   SCM posns = me->get_property ("positions");
 318   Drul_array<Real> pos;
 319   if (!is_number_pair (posns))
 320     {
 321       programming_error ("no beam positions?");
 322       pos = Interval (0, 0);
 323     }
 324   else
 325     pos = ly_scm2realdrul (posns);
 326
 327   scale_drul (&pos, Staff_symbol_referencer::staff_space (me));
 328
 329   Real dy = pos[RIGHT] - pos[LEFT];
 330   Real slope = (dy && dx) ? dy / dx : 0;
 331
 332   Real thick = get_thickness (me);
 333   Real bdy = get_beam_translation (me);
 334
 335   SCM last_beaming = SCM_EOL;
 336   Real last_xposn = -1;
 337   Real last_stem_width = -1;
 338
 339   Real gap_length = robust_scm2double (me->get_property ("gap"), 0.0);
 340
 341   Stencil the_beam;
 342   Real lt = me->get_layout ()->get_dimension (ly_symbol2scm ("linethickness"));
 343
 344   for (int i = 0; i <= stems.size (); i++)
 345     {
 346       Grob *st = (i < stems.size ()) ? stems[i] : 0;
 347
 348       SCM this_beaming = st ? st->get_property ("beaming") : SCM_EOL;
 349       Real xposn = st ? st->relative_coordinate (xcommon, X_AXIS) : 0.0;
 350       Real stem_width = st ? robust_scm2double (st->get_property ("thickness"), 1.0) * lt : 0;
 351       Direction stem_dir = st ? to_dir (st->get_property ("direction")) : CENTER;
 352       /*
 353         We do the space left of ST, with lfliebertjes pointing to the
 354         right from the left stem, and rfliebertjes pointing left from
 355         right stem.
 356       */
 357       SCM left = (i > 0) ? scm_cdr (last_beaming) : SCM_EOL;
 358       SCM right = st ? scm_car (this_beaming) : SCM_EOL;
 359
 360       Array<int> full_beams;
 361       Array<int> lfliebertjes;
 362       Array<int> rfliebertjes;
 363
 364       for (SCM s = left;
 365            scm_is_pair (s); s = scm_cdr (s))
 366         {
 367           int b = scm_to_int (scm_car (s));
 368           if (scm_c_memq (scm_car (s), right) != SCM_BOOL_F)
 369             {
 370               full_beams.push (b);
 371             }
 372           else
 373             {
 374               lfliebertjes.push (b);
 375             }
 376         }
 377       for (SCM s = right;
 378            scm_is_pair (s); s = scm_cdr (s))
 379         {
 380           int b = scm_to_int (scm_car (s));
 381           if (scm_c_memq (scm_car (s), left) == SCM_BOOL_F)
 382             {
 383               rfliebertjes.push (b);
 384             }
 385         }
 386
 387       /*
 388         how much to stick out for beams across linebreaks
 389       */
 390       Real break_overshoot = 3.0;
 391       Real w = (i > 0 && st) ? (xposn - last_xposn) : break_overshoot;
 392
 393       Real stem_offset = 0.0;
 394       if (i > 0)
 395         {
 396           w += last_stem_width / 2;
 397           stem_offset = -last_stem_width / 2;
 398         }
 399
 400       if (st)
 401         w += stem_width / 2;
 402
 403       Real blot = me->get_layout ()->get_dimension (ly_symbol2scm ("blotdiameter"));
 404       Stencil whole = Lookup::beam (slope, w, thick, blot);
 405       Stencil gapped;
 406
 407       int gap_count = 0;
 408       if (scm_is_number (me->get_property ("gap-count")))
 409         {
 410           gap_count = scm_to_int (me->get_property ("gap-count"));
 411           gapped = Lookup::beam (slope, w - 2 * gap_length, thick, blot);
 412
 413           full_beams.sort (default_compare);
 414           if (stem_dir == UP)
 415             full_beams.reverse ();
 416         }
 417
 418       int k = 0;
 419       for (int j = full_beams.size (); j--;)
 420         {
 421           Stencil b (whole);
 422
 423           if (k++ < gap_count)
 424             {
 425               b = gapped;
 426               b.translate_axis (gap_length, X_AXIS);
 427             }
 428           b.translate_axis (last_xposn - x0 + stem_offset, X_AXIS);
 429           b.translate_axis (slope * (last_xposn - x0) + bdy * full_beams[j], Y_AXIS);
 430
 431           the_beam.add_stencil (b);
 432         }
 433
 434       if (lfliebertjes.size () || rfliebertjes.size ())
 435         {
 436           Real nw_f;
 437
 438           if (st)
 439             {
 440               int t = Stem::duration_log (st);
 441
 442               SCM proc = me->get_property ("flag-width-function");
 443               SCM result = scm_call_1 (proc, scm_int2num (t));
 444               nw_f = scm_to_double (result);
 445             }
 446           else
 447             nw_f = break_overshoot / 2;
 448
 449           /* Half beam should be one note-width,
 450              but let's make sure two half-beams never touch */
 451           Real lw = nw_f;
 452           Real rw = nw_f;
 453           if (i > 0)
 454             rw = nw_f <? ((xposn - last_xposn) / 2);
 455           else
 456             /*
 457               TODO: 0.5 is a guess.
 458             */
 459             rw = xposn - me->get_bound (LEFT)->extent (xcommon, X_AXIS)[RIGHT]
 460               - 0.5;
 461
 462           if (st)
 463             lw = nw_f <? ((xposn - last_xposn) / 2);
 464           else
 465             lw = me->get_bound (RIGHT)->relative_coordinate (xcommon, X_AXIS)
 466               - last_xposn;
 467
 468           Stencil rhalf = Lookup::beam (slope, rw, thick, blot);
 469           Stencil lhalf = Lookup::beam (slope, lw, thick, blot);
 470           for (int j = lfliebertjes.size (); j--;)
 471             {
 472               Stencil b (lhalf);
 473               b.translate_axis (last_xposn - x0, X_AXIS);
 474               b.translate_axis (slope * (last_xposn - x0) + bdy * lfliebertjes[j], Y_AXIS);
 475               the_beam.add_stencil (b);
 476             }
 477           for (int j = rfliebertjes.size (); j--;)
 478             {
 479               Stencil b (rhalf);
 480               b.translate_axis (xposn - x0 - rw, X_AXIS);
 481               b.translate_axis (slope * (xposn - x0 -rw) + bdy * rfliebertjes[j], Y_AXIS);
 482               the_beam.add_stencil (b);
 483             }
 484         }
 485
 486       last_xposn = xposn;
 487       last_stem_width = stem_width;
 488       last_beaming = this_beaming;
 489     }
 490
 491   the_beam.translate_axis (x0 - me->relative_coordinate (xcommon, X_AXIS), X_AXIS);
 492   the_beam.translate_axis (pos[LEFT], Y_AXIS);
 493
 494 #if (DEBUG_QUANTING)
 495   SCM quant_score = me->get_property ("quant-score");
 496   if (to_boolean (me->get_layout ()->lookup_variable (ly_symbol2scm ("debug-beam-quanting")))
 497       && scm_is_string (quant_score))
 498     {
 499
 500       /*
 501         This code prints the demerits for each beam. Perhaps this
 502         should be switchable for those who want to twiddle with the
 503         parameters.
 504       */
 505       String str;
 506       SCM properties = Font_interface::text_font_alist_chain (me);
 507
 508       Direction stem_dir = stems.size () ? to_dir (stems[0]->get_property ("direction")) : UP;
 509
 510       Stencil tm = *unsmob_stencil (Text_interface::interpret_markup
 511                                     (me->get_layout ()->self_scm (), properties, quant_score));
 512       the_beam.add_at_edge (Y_AXIS, stem_dir, tm, 1.0, 0);
 513     }
 514 #endif
 515
 516   return the_beam.smobbed_copy ();
 517 }
 518
 519 Direction
 520 Beam::get_default_dir (Grob *me)
 521 {
 522   Drul_array<int> total;
 523   total[UP] = total[DOWN] = 0;
 524   Drul_array<int> count;
 525   count[UP] = count[DOWN] = 0;
 526   Direction d = DOWN;
 527
 528   Link_array<Grob> stems
 529     = extract_grob_array (me, ly_symbol2scm ("stems"));
 530
 531   for (int i = 0; i < stems.size (); i++)
 532     do
 533       {
 534         Grob *s = stems[i];
 535         Direction sd = get_grob_direction (s);
 536
 537         int center_distance = int (- d * Stem::head_positions (s) [-d]) >? 0;
 538         int current = sd ? (1 + d * sd) / 2 : center_distance;
 539
 540         if (current)
 541           {
 542             total[d] += current;
 543             count[d]++;
 544           }
 545       }
 546     while (flip (&d) != DOWN);
 547
 548   SCM func = me->get_property ("dir-function");
 549   SCM s = scm_call_2 (func,
 550                       scm_cons (scm_int2num (count[UP]),
 551                                 scm_int2num (count[DOWN])),
 552                       scm_cons (scm_int2num (total[UP]),
 553                                 scm_int2num (total[DOWN])));
 554
 555   if (scm_is_number (s) && scm_to_int (s))
 556     return to_dir (s);
 557
 558   /* If dir is not determined: get default */
 559   return to_dir (me->get_property ("neutral-direction"));
 560 }
 561
 562 /* Set all stems with non-forced direction to beam direction.
 563    Urg: non-forced should become `without/with unforced' direction,
 564    once stem gets cleaned-up. */
 565 void
 566 Beam::set_stem_directions (Grob *me, Direction d)
 567 {
 568   Link_array<Grob> stems
 569     = extract_grob_array (me, ly_symbol2scm ("stems"));
 570
 571   for (int i = 0; i < stems.size (); i++)
 572     {
 573       Grob *s = stems[i];
 574
 575       SCM forcedir = s->get_property ("direction");
 576       if (!to_dir (forcedir))
 577         set_grob_direction (s, d);
 578     }
 579 }
 580
 581 /*
 582   Only try horizontal beams for knees.  No reliable detection of
 583   anything else is possible here, since we don't know funky-beaming
 584   settings, or X-distances (slopes!)  People that want sloped
 585   knee-beams, should set the directions manually.
 586
 587
 588   TODO:
 589
 590   this routine should take into account the stemlength scoring
 591   of a possible knee/nonknee beam.
 592 */
 593 void
 594 Beam::consider_auto_knees (Grob *me)
 595 {
 596   SCM scm = me->get_property ("auto-knee-gap");
 597   if (!scm_is_number (scm))
 598     return;
 599
 600   Interval_set gaps;
 601
 602   gaps.set_full ();
 603
 604   Link_array<Grob> stems
 605     = extract_grob_array (me, ly_symbol2scm ("stems"));
 606
 607   Grob *common = common_refpoint_of_array (stems, me, Y_AXIS);
 608   Real staff_space = Staff_symbol_referencer::staff_space (me);
 609
 610   Array<Interval> head_extents_array;
 611   for (int i = 0; i < stems.size (); i++)
 612     {
 613       Grob *stem = stems[i];
 614       if (Stem::is_invisible (stem))
 615         continue;
 616
 617       Interval head_extents = Stem::head_positions (stem);
 618       if (!head_extents.is_empty ())
 619         {
 620           head_extents[LEFT] += -1;
 621           head_extents[RIGHT] += 1;
 622           head_extents *= staff_space * 0.5;
 623
 624           /*
 625             We could subtract beam Y position, but this routine only
 626             sets stem directions, a constant shift does not have an
 627             influence.
 628           */
 629           head_extents += stem->relative_coordinate (common, Y_AXIS);
 630
 631           if (to_dir (stem->get_property ("direction")))
 632             {
 633               Direction stemdir = to_dir (stem->get_property ("direction"));
 634               head_extents[-stemdir] = -stemdir * infinity_f;
 635             }
 636         }
 637       head_extents_array.push (head_extents);
 638
 639       gaps.remove_interval (head_extents);
 640     }
 641
 642   Interval max_gap;
 643   Real max_gap_len = 0.0;
 644
 645   for (int i = gaps.allowed_regions_.size () -1; i >= 0; i--)
 646     {
 647       Interval gap = gaps.allowed_regions_[i];
 648
 649       /*
 650         the outer gaps are not knees.
 651       */
 652       if (isinf (gap[LEFT]) || isinf (gap[RIGHT]))
 653         continue;
 654
 655       if (gap.length () >= max_gap_len)
 656         {
 657           max_gap_len = gap.length ();
 658           max_gap = gap;
 659         }
 660     }
 661
 662   Real beam_translation = get_beam_translation (me);
 663   Real beam_thickness = Beam::get_thickness (me);
 664   int beam_count = Beam::get_beam_count (me);
 665   Real height_of_beams = beam_thickness / 2
 666     + (beam_count - 1) * beam_translation;
 667   Real threshold = scm_to_double (scm) + height_of_beams;
 668
 669   if (max_gap_len > threshold)
 670     {
 671       int j = 0;
 672       for (int i = 0; i < stems.size (); i++)
 673         {
 674           Grob *stem = stems[i];
 675           if (Stem::is_invisible (stem))
 676             continue;
 677
 678           Interval head_extents = head_extents_array[j++];
 679
 680           Direction d = (head_extents.center () < max_gap.center ())
 681             ? UP : DOWN;
 682
 683           stem->set_property ("direction", scm_int2num (d));
 684
 685           head_extents.intersect (max_gap);
 686           assert (head_extents.is_empty () || head_extents.length () < 1e-6);
 687         }
 688     }
 689 }
 690
 691 /* Set stem's shorten property if unset.
 692
 693 TODO:
 694 take some y-position (chord/beam/nearest?) into account
 695 scmify forced-fraction
 696
 697 This is done in beam because the shorten has to be uniform over the
 698 entire beam.
 699 */
 700 void
 701 Beam::set_stem_shorten (Grob *me)
 702 {
 703   /*
 704     shortening looks silly for x staff beams
 705   */
 706   if (is_knee (me))
 707     return;
 708
 709   Real forced_fraction = 1.0 * forced_stem_count (me)
 710     / visible_stem_count (me);
 711
 712   int beam_count = get_beam_count (me);
 713
 714   SCM shorten_list = me->get_property ("beamed-stem-shorten");
 715   if (shorten_list == SCM_EOL)
 716     return;
 717
 718   Real staff_space = Staff_symbol_referencer::staff_space (me);
 719
 720   SCM shorten_elt
 721     = robust_list_ref (beam_count -1, shorten_list);
 722   Real shorten_f = scm_to_double (shorten_elt) * staff_space;
 723
 724   /* your similar cute comment here */
 725   shorten_f *= forced_fraction;
 726
 727   if (shorten_f)
 728     me->set_property ("shorten", scm_make_real (shorten_f));
 729 }
 730
 731 /*  Call list of y-dy-callbacks, that handle setting of
 732     grob-properties
 733 */
 734 MAKE_SCHEME_CALLBACK (Beam, after_line_breaking, 1);
 735 SCM
 736 Beam::after_line_breaking (SCM smob)
 737 {
 738   Grob *me = unsmob_grob (smob);
 739
 740   position_beam (me);
 741   return SCM_UNSPECIFIED;
 742 }
 743
 744 void
 745 Beam::position_beam (Grob *me)
 746 {
 747   if (!me->is_live ())
 748     return;
 749   if (to_boolean (me->get_property ("positioning-done")))
 750     return;
 751
 752   me->set_property ("positioning-done", SCM_BOOL_T);
 753
 754   /* Copy to mutable list. */
 755   SCM s = ly_deep_copy (me->get_property ("positions"));
 756   me->set_property ("positions", s);
 757
 758   if (scm_car (s) == SCM_BOOL_F)
 759     {
 760       // one wonders if such genericity is necessary  --hwn.
 761       SCM callbacks = me->get_property ("position-callbacks");
 762       for (SCM i = callbacks; scm_is_pair (i); i = scm_cdr (i))
 763         scm_call_1 (scm_car (i), me->self_scm ());
 764     }
 765
 766   set_stem_lengths (me);
 767 }
 768
 769 void
 770 set_minimum_dy (Grob *me, Real *dy)
 771 {
 772   if (*dy)
 773     {
 774       /*
 775         If dy is smaller than the smallest quant, we
 776         get absurd direction-sign penalties.
 777       */
 778
 779       Real ss = Staff_symbol_referencer::staff_space (me);
 780       Real thickness = Beam::get_thickness (me) / ss;
 781       Real slt = Staff_symbol_referencer::line_thickness (me) / ss;
 782       Real sit = (thickness - slt) / 2;
 783       Real inter = 0.5;
 784       Real hang = 1.0 - (thickness - slt) / 2;
 785
 786       *dy = sign (*dy) * (fabs (*dy)
 787                           >?
 788                           (sit <? inter <? hang));
 789     }
 790 }
 791
 792 /*
 793   Compute  a first approximation to the beam slope.
 794 */
 795 MAKE_SCHEME_CALLBACK (Beam, least_squares, 1);
 796 SCM
 797 Beam::least_squares (SCM smob)
 798 {
 799   Grob *me = unsmob_grob (smob);
 800
 801   int count = visible_stem_count (me);
 802   Interval pos (0, 0);
 803
 804   if (count < 1)
 805     {
 806       me->set_property ("positions", ly_interval2scm (pos));
 807       return SCM_UNSPECIFIED;
 808     }
 809
 810   Array<Real> x_posns;
 811   Link_array<Grob> stems
 812     = extract_grob_array (me, ly_symbol2scm ("stems"));
 813   Grob *commonx = common_refpoint_of_array (stems, me, X_AXIS);
 814   Grob *commony = common_refpoint_of_array (stems, me, Y_AXIS);
 815
 816   Real my_y = me->relative_coordinate (commony, Y_AXIS);
 817
 818   Grob *fvs = first_visible_stem (me);
 819   Grob *lvs = last_visible_stem (me);
 820
 821   Interval ideal (Stem::get_stem_info (fvs).ideal_y_
 822                   + fvs->relative_coordinate (commony, Y_AXIS) -my_y,
 823                   Stem::get_stem_info (lvs).ideal_y_
 824                   + lvs->relative_coordinate (commony, Y_AXIS) - my_y);
 825
 826   Real x0 = first_visible_stem (me)->relative_coordinate (commonx, X_AXIS);
 827   for (int i = 0; i < stems.size (); i++)
 828     {
 829       Grob *s = stems[i];
 830
 831       Real x = s->relative_coordinate (commonx, X_AXIS) - x0;
 832       x_posns.push (x);
 833     }
 834   Real dx = last_visible_stem (me)->relative_coordinate (commonx, X_AXIS) - x0;
 835
 836   Real y = 0;
 837   Real slope = 0;
 838   Real dy = 0;
 839
 840   if (!ideal.delta ())
 841     {
 842       Interval chord (Stem::chord_start_y (first_visible_stem (me)),
 843                       Stem::chord_start_y (last_visible_stem (me)));
 844
 845       /* Simple beams (2 stems) on middle line should be allowed to be
 846          slightly sloped.
 847
 848          However, if both stems reach middle line,
 849          ideal[LEFT] == ideal[RIGHT] and ideal.delta () == 0.
 850
 851          For that case, we apply artificial slope */
 852       if (!ideal[LEFT] && chord.delta () && count == 2)
 853         {
 854           /* FIXME. -> UP */
 855           Direction d = (Direction) (sign (chord.delta ()) * UP);
 856           pos[d] = get_thickness (me) / 2;
 857           pos[-d] = -pos[d];
 858         }
 859       else
 860         {
 861           pos = ideal;
 862         }
 863
 864       /*
 865         For broken beams this doesn't work well. In this case, the
 866         slope esp. of the first part of a broken beam should predict
 867         where the second part goes.
 868       */
 869       me->set_property ("least-squares-dy",
 870                         scm_make_real (pos[RIGHT] - pos[LEFT]));
 871     }
 872   else
 873     {
 874       Array<Offset> ideals;
 875       for (int i = 0; i < stems.size (); i++)
 876         {
 877           Grob *s = stems[i];
 878           if (Stem::is_invisible (s))
 879             continue;
 880           ideals.push (Offset (x_posns[i],
 881                                Stem::get_stem_info (s).ideal_y_
 882                                + s->relative_coordinate (commony, Y_AXIS)
 883                                - my_y));
 884         }
 885
 886       minimise_least_squares (&slope, &y, ideals);
 887
 888       dy = slope * dx;
 889
 890       set_minimum_dy (me, &dy);
 891       me->set_property ("least-squares-dy", scm_make_real (dy));
 892       pos = Interval (y, (y + dy));
 893     }
 894
 895   /*
 896     "position" is relative to the staff.
 897   */
 898   scale_drul (&pos, 1 / Staff_symbol_referencer::staff_space (me));
 899
 900   me->set_property ("positions", ly_interval2scm (pos));
 901
 902   return SCM_UNSPECIFIED;
 903 }
 904
 905 /*
 906   We can't combine with previous function, since check concave and
 907   slope damping comes first.
 908
 909   TODO: we should use the concaveness to control the amount of damping
 910   applied.
 911 */
 912 MAKE_SCHEME_CALLBACK (Beam, shift_region_to_valid, 1);
 913 SCM
 914 Beam::shift_region_to_valid (SCM grob)
 915 {
 916   Grob *me = unsmob_grob (grob);
 917   /*
 918     Code dup.
 919   */
 920   Array<Real> x_posns;
 921   Link_array<Grob> stems
 922     = extract_grob_array (me, ly_symbol2scm ("stems"));
 923   Grob *commonx = common_refpoint_of_array (stems, me, X_AXIS);
 924   Grob *commony = common_refpoint_of_array (stems, me, Y_AXIS);
 925
 926   Grob *fvs = first_visible_stem (me);
 927
 928   if (!fvs)
 929     return SCM_UNSPECIFIED;
 930
 931   Real x0 = fvs->relative_coordinate (commonx, X_AXIS);
 932   for (int i = 0; i < stems.size (); i++)
 933     {
 934       Grob *s = stems[i];
 935
 936       Real x = s->relative_coordinate (commonx, X_AXIS) - x0;
 937       x_posns.push (x);
 938     }
 939
 940   Grob *lvs = last_visible_stem (me);
 941   if (!lvs)
 942     return SCM_UNSPECIFIED;
 943
 944   Real dx = lvs->relative_coordinate (commonx, X_AXIS) - x0;
 945
 946   Drul_array<Real> pos = ly_scm2interval (me->get_property ("positions"));
 947
 948   scale_drul (&pos, Staff_symbol_referencer::staff_space (me));
 949
 950   Real dy = pos[RIGHT] - pos[LEFT];
 951   Real y = pos[LEFT];
 952   Real slope = dy / dx;
 953
 954   /*
 955     Shift the positions so that we have a chance of finding good
 956     quants (i.e. no short stem failures.)
 957   */
 958   Interval feasible_left_point;
 959   feasible_left_point.set_full ();
 960   for (int i = 0; i < stems.size (); i++)
 961     {
 962       Grob *s = stems[i];
 963       if (Stem::is_invisible (s))
 964         continue;
 965
 966       Direction d = Stem::get_direction (s);
 967
 968       Real left_y
 969         = Stem::get_stem_info (s).shortest_y_
 970         - slope * x_posns [i];
 971
 972       /*
 973         left_y is now relative to the stem S. We want relative to
 974         ourselves, so translate:
 975       */
 976       left_y
 977         += + s->relative_coordinate (commony, Y_AXIS)
 978         - me->relative_coordinate (commony, Y_AXIS);
 979
 980       Interval flp;
 981       flp.set_full ();
 982       flp[-d] = left_y;
 983
 984       feasible_left_point.intersect (flp);
 985     }
 986
 987   if (feasible_left_point.is_empty ())
 988     warning (_ ("no viable initial configuration found: may not find good beam slope"));
 989   else if (!feasible_left_point.contains (y))
 990     {
 991       if (isinf (feasible_left_point[DOWN]))
 992         y = feasible_left_point[UP] - REGION_SIZE;
 993       else if (isinf (feasible_left_point[UP]))
 994         y = feasible_left_point[DOWN]+ REGION_SIZE;
 995       else
 996         y = feasible_left_point.center ();
 997     }
 998
 999   pos = Drul_array<Real> (y, (y + dy));
1000   scale_drul (&pos, 1 / Staff_symbol_referencer::staff_space (me));
1001
1002   me->set_property ("positions", ly_interval2scm (pos));
1003   return SCM_UNSPECIFIED;
1004 }
1005
1006 /* This neat trick is by Werner Lemberg,
1007    damped = tanh (slope)
1008    corresponds with some tables in [Wanske] CHECKME */
1009 MAKE_SCHEME_CALLBACK (Beam, slope_damping, 1);
1010 SCM
1011 Beam::slope_damping (SCM smob)
1012 {
1013   Grob *me = unsmob_grob (smob);
1014
1015   if (visible_stem_count (me) <= 1)
1016     return SCM_UNSPECIFIED;
1017
1018   SCM s = me->get_property ("damping");
1019   Real damping = scm_to_double (s);
1020
1021   if (damping)
1022     {
1023       Drul_array<Real> pos = ly_scm2interval (me->get_property ("positions"));
1024       scale_drul (&pos, Staff_symbol_referencer::staff_space (me));
1025
1026       Real dy = pos[RIGHT] - pos[LEFT];
1027
1028       Grob *fvs = first_visible_stem (me);
1029       Grob *lvs = last_visible_stem (me);
1030
1031       Grob *commonx = fvs->common_refpoint (lvs, X_AXIS);
1032
1033       Real dx = last_visible_stem (me)->relative_coordinate (commonx, X_AXIS)
1034         - first_visible_stem (me)->relative_coordinate (commonx, X_AXIS);
1035
1036       Real slope = dy && dx ? dy / dx : 0;
1037
1038       Real concaveness = robust_scm2double (me->get_property ("concaveness"), 0.0);
1039
1040       slope = 0.6 * tanh (slope) / (damping + concaveness);
1041
1042       Real damped_dy = slope * dx;
1043
1044       set_minimum_dy (me, &damped_dy);
1045
1046       pos[LEFT] += (dy - damped_dy) / 2;
1047       pos[RIGHT] -= (dy - damped_dy) / 2;
1048
1049       scale_drul (&pos, 1 / Staff_symbol_referencer::staff_space (me));
1050
1051       me->set_property ("positions", ly_interval2scm (pos));
1052     }
1053   return SCM_UNSPECIFIED;
1054 }
1055
1056 /*
1057   Report slice containing the numbers that are both in (car BEAMING)
1058   and (cdr BEAMING)
1059 */
1060 Slice
1061 where_are_the_whole_beams (SCM beaming)
1062 {
1063   Slice l;
1064
1065   for (SCM s = scm_car (beaming); scm_is_pair (s); s = scm_cdr (s))
1066     {
1067       if (scm_c_memq (scm_car (s), scm_cdr (beaming)) != SCM_BOOL_F)
1068
1069         l.add_point (scm_to_int (scm_car (s)));
1070     }
1071
1072   return l;
1073 }
1074
1075 /* Return the Y position of the stem-end, given the Y-left, Y-right
1076    in POS for stem S.  This Y position is relative to S. */
1077 Real
1078 Beam::calc_stem_y (Grob *me, Grob *s, Grob ** common,
1079                    Real xl, Real xr,
1080                    Drul_array<Real> pos, bool french)
1081 {
1082   Real beam_translation = get_beam_translation (me);
1083
1084   Real r = s->relative_coordinate (common[X_AXIS], X_AXIS) - xl;
1085   Real dy = pos[RIGHT] - pos[LEFT];
1086   Real dx = xr - xl;
1087   Real stem_y_beam0 = (dy && dx
1088                        ? r / dx
1089                        * dy
1090                        : 0) + pos[LEFT];
1091
1092   Direction my_dir = get_grob_direction (s);
1093   SCM beaming = s->get_property ("beaming");
1094
1095   Real stem_y = stem_y_beam0;
1096   if (french)
1097     {
1098       Slice bm = where_are_the_whole_beams (beaming);
1099       if (!bm.is_empty ())
1100         stem_y += beam_translation * bm[-my_dir];
1101     }
1102   else
1103     {
1104       Slice bm = Stem::beam_multiplicity (s);
1105       if (!bm.is_empty ())
1106         stem_y += bm[my_dir] * beam_translation;
1107     }
1108
1109   Real id = me->relative_coordinate (common[Y_AXIS], Y_AXIS)
1110     - s->relative_coordinate (common[Y_AXIS], Y_AXIS);
1111
1112   return stem_y + id;
1113 }
1114
1115 /*
1116   Hmm.  At this time, beam position and slope are determined.  Maybe,
1117   stem directions and length should set to relative to the chord's
1118   position of the beam.  */
1119 void
1120 Beam::set_stem_lengths (Grob *me)
1121 {
1122   Link_array<Grob> stems
1123     = extract_grob_array (me, ly_symbol2scm ("stems"));
1124
1125   if (!stems.size ())
1126     return;
1127
1128   Grob *common[2];
1129   for (int a = 2; a--;)
1130     common[a] = common_refpoint_of_array (stems, me, Axis (a));
1131
1132   Drul_array<Real> pos = ly_scm2realdrul (me->get_property ("positions"));
1133   Real staff_space = Staff_symbol_referencer::staff_space (me);
1134   scale_drul (&pos, staff_space);
1135
1136   bool gap = false;
1137   Real thick = 0.0;
1138   if (scm_is_number (me->get_property ("gap-count"))
1139       &&scm_to_int (me->get_property ("gap-count")))
1140     {
1141       gap = true;
1142       thick = get_thickness (me);
1143     }
1144
1145   // ugh -> use commonx
1146   Grob *fvs = first_visible_stem (me);
1147   Grob *lvs = last_visible_stem (me);
1148
1149   Real xl = fvs ? fvs->relative_coordinate (common[X_AXIS], X_AXIS) : 0.0;
1150   Real xr = lvs ? lvs->relative_coordinate (common[X_AXIS], X_AXIS) : 0.0;
1151
1152   for (int i = 0; i < stems.size (); i++)
1153     {
1154       Grob *s = stems[i];
1155       if (Stem::is_invisible (s))
1156         continue;
1157
1158       bool french = to_boolean (s->get_property ("french-beaming"));
1159       Real stem_y = calc_stem_y (me, s, common,
1160                                  xl, xr,
1161                                  pos, french && s != lvs && s!= fvs);
1162
1163       /*
1164         Make the stems go up to the end of the beam. This doesn't matter
1165         for normal beams, but for tremolo beams it looks silly otherwise.
1166       */
1167       if (gap)
1168         stem_y += thick * 0.5 * get_grob_direction (s);
1169
1170       Stem::set_stemend (s, 2 * stem_y / staff_space);
1171     }
1172 }
1173
1174 void
1175 Beam::set_beaming (Grob *me, Beaming_info_list *beaming)
1176 {
1177   Link_array<Grob> stems
1178     = extract_grob_array (me, ly_symbol2scm ("stems"));
1179
1180   Direction d = LEFT;
1181   for (int i = 0; i < stems.size (); i++)
1182     {
1183       /*
1184         Don't overwrite user settings.
1185       */
1186
1187       do
1188         {
1189           /* Don't set beaming for outside of outer stems */
1190           if ((d == LEFT && i == 0)
1191               || (d == RIGHT && i == stems.size () -1))
1192             continue;
1193
1194           Grob *st = stems[i];
1195           SCM beaming_prop = st->get_property ("beaming");
1196           if (beaming_prop == SCM_EOL
1197               || index_get_cell (beaming_prop, d) == SCM_EOL)
1198             {
1199               int b = beaming->infos_.elem (i).beams_i_drul_[d];
1200               if (i > 0
1201                   && i < stems.size () -1
1202                   && Stem::is_invisible (st))
1203                 b = b <? beaming->infos_.elem (i).beams_i_drul_[-d];
1204
1205               Stem::set_beaming (st, b, d);
1206             }
1207         }
1208       while (flip (&d) != LEFT);
1209     }
1210 }
1211
1212 int
1213 Beam::forced_stem_count (Grob *me)
1214 {
1215   Link_array<Grob> stems
1216     = extract_grob_array (me, ly_symbol2scm ("stems"));
1217   int f = 0;
1218   for (int i = 0; i < stems.size (); i++)
1219     {
1220       Grob *s = stems[i];
1221
1222       if (Stem::is_invisible (s))
1223         continue;
1224
1225       /* I can imagine counting those boundaries as a half forced stem,
1226          but let's count them full for now. */
1227       if (abs (Stem::chord_start_y (s)) > 0.1
1228           && (Stem::get_direction (s) != Stem::get_default_dir (s)))
1229         f++;
1230     }
1231   return f;
1232 }
1233
1234 int
1235 Beam::visible_stem_count (Grob *me)
1236 {
1237   Link_array<Grob> stems
1238     = extract_grob_array (me, ly_symbol2scm ("stems"));
1239   int c = 0;
1240   for (int i = stems.size (); i--;)
1241     {
1242       if (!Stem::is_invisible (stems[i]))
1243         c++;
1244     }
1245   return c;
1246 }
1247
1248 Grob *
1249 Beam::first_visible_stem (Grob *me)
1250 {
1251   Link_array<Grob> stems
1252     = extract_grob_array (me, ly_symbol2scm ("stems"));
1253
1254   for (int i = 0; i < stems.size (); i++)
1255     {
1256       if (!Stem::is_invisible (stems[i]))
1257         return stems[i];
1258     }
1259   return 0;
1260 }
1261
1262 Grob *
1263 Beam::last_visible_stem (Grob *me)
1264 {
1265   Link_array<Grob> stems
1266     = extract_grob_array (me, ly_symbol2scm ("stems"));
1267   for (int i = stems.size (); i--;)
1268     {
1269       if (!Stem::is_invisible (stems[i]))
1270         return stems[i];
1271     }
1272   return 0;
1273 }
1274
1275 /*
1276   [TODO]
1277
1278   handle rest under beam (do_post: beams are calculated now)
1279   what about combination of collisions and rest under beam.
1280
1281   Should lookup
1282
1283   rest -> stem -> beam -> interpolate_y_position ()
1284 */
1285 MAKE_SCHEME_CALLBACK (Beam, rest_collision_callback, 2);
1286 SCM
1287 Beam::rest_collision_callback (SCM element_smob, SCM axis)
1288 {
1289   Grob *rest = unsmob_grob (element_smob);
1290   Axis a = (Axis) scm_to_int (axis);
1291
1292   if (scm_is_number (rest->get_property ("staff-position")))
1293     return scm_int2num (0);
1294
1295   assert (a == Y_AXIS);
1296
1297   Grob *st = unsmob_grob (rest->get_property ("stem"));
1298   Grob *stem = st;
1299   if (!stem)
1300     return scm_make_real (0.0);
1301   Grob *beam = unsmob_grob (stem->get_property ("beam"));
1302   if (!beam
1303       || !Beam::has_interface (beam)
1304       || !Beam::visible_stem_count (beam))
1305     return scm_make_real (0.0);
1306
1307   Drul_array<Real> pos (0, 0);
1308   SCM s = beam->get_property ("positions");
1309   if (scm_is_pair (s) && scm_is_number (scm_car (s)))
1310     pos = ly_scm2interval (s);
1311   Real staff_space = Staff_symbol_referencer::staff_space (rest);
1312
1313   scale_drul (&pos, staff_space);
1314
1315   Real dy = pos[RIGHT] - pos[LEFT];
1316
1317   // ugh -> use commonx
1318   Real x0 = first_visible_stem (beam)->relative_coordinate (0, X_AXIS);
1319   Real dx = last_visible_stem (beam)->relative_coordinate (0, X_AXIS) - x0;
1320   Real slope = dy && dx ? dy / dx : 0;
1321
1322   Direction d = Stem::get_direction (stem);
1323   Real stem_y = pos[LEFT] + (stem->relative_coordinate (0, X_AXIS) - x0) * slope;
1324
1325   Real beam_translation = get_beam_translation (beam);
1326   Real beam_thickness = Beam::get_thickness (beam);
1327
1328   /*
1329     TODO: this is not strictly correct for 16th knee beams.
1330   */
1331   int beam_count
1332     = Stem::beam_multiplicity (stem).length () + 1;
1333
1334   Real height_of_my_beams = beam_thickness / 2
1335     + (beam_count - 1) * beam_translation;
1336   Real beam_y = stem_y - d * height_of_my_beams;
1337
1338   Grob *common_y = rest->common_refpoint (beam, Y_AXIS);
1339
1340   Real rest_dim = rest->extent (common_y, Y_AXIS)[d];
1341   Real minimum_distance
1342     = + staff_space * (robust_scm2double (stem->get_property ("stemlet-length"), 0.0)
1343                        + robust_scm2double (rest->get_property ("minimum-distance"), 0.0));
1344
1345   Real shift = d * (((beam_y - d * minimum_distance) - rest_dim) * d <? 0.0);
1346
1347   shift /= staff_space;
1348   Real rad = Staff_symbol_referencer::line_count (rest) * staff_space / 2;
1349
1350   /* Always move discretely by half spaces */
1351   shift = ceil (fabs (shift * 2.0)) / 2.0 * sign (shift);
1352
1353   /* Inside staff, move by whole spaces*/
1354   if ((rest->extent (common_y, Y_AXIS)[d] + staff_space * shift) * d
1355       < rad
1356       || (rest->extent (common_y, Y_AXIS)[-d] + staff_space * shift) * -d
1357       < rad)
1358     shift = ceil (fabs (shift)) * sign (shift);
1359
1360   return scm_make_real (staff_space * shift);
1361 }
1362
1363 bool
1364 Beam::is_knee (Grob *me)
1365 {
1366   SCM k = me->get_property ("knee");
1367   if (scm_is_bool (k))
1368     return ly_scm2bool (k);
1369
1370   bool knee = false;
1371   int d = 0;
1372   for (SCM s = me->get_property ("stems"); scm_is_pair (s); s = scm_cdr (s))
1373     {
1374       Direction dir = get_grob_direction (unsmob_grob (scm_car (s)));
1375       if (d && d != dir)
1376         {
1377           knee = true;
1378           break;
1379         }
1380       d = dir;
1381     }
1382
1383   me->set_property ("knee", ly_bool2scm (knee));
1384
1385   return knee;
1386 }
1387
1388 int
1389 Beam::get_direction_beam_count (Grob *me, Direction d)
1390 {
1391   Link_array<Grob> stems
1392     = extract_grob_array (me, ly_symbol2scm ("stems"));
1393   int bc = 0;
1394
1395   for (int i = stems.size (); i--;)
1396     {
1397       /*
1398         Should we take invisible stems into account?
1399       */
1400       if (Stem::get_direction (stems[i]) == d)
1401         bc = bc >? (Stem::beam_multiplicity (stems[i]).length () + 1);
1402     }
1403
1404   return bc;
1405 }
1406
1407 ADD_INTERFACE (Beam, "beam-interface",
1408                "A beam. \n\n"
1409                "The @code{thickness} property is the weight of beams, and is measured "
1410                "in  staffspace",
1411                "knee positioning-done position-callbacks "
1412                "concaveness dir-function quant-score auto-knee-gap gap "
1413                "gap-count chord-tremolo beamed-stem-shorten shorten least-squares-dy "
1414                "damping inspect-quants flag-width-function neutral-direction positions space-function "
1415                "thickness");
1416