kinetic_formalism.Rnw

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  20 \newenvironment{narrow}[2]{%
  21   \begin{list}{}{%
  22       \setlength{\topsep}{0pt}%
  23       \setlength{\leftmargin}{#1}%
  24       \setlength{\rightmargin}{#2}%
  25       \setlength{\listparindent}{\parindent}%
  26       \setlength{\itemindent}{\parindent}%
  27       \setlength{\parsep}{\parskip}}%
  28   \item[]}{\end{list}}
  29 \newenvironment{paperquote}{%
  30   \begin{quote}%
  31      \it
  32   }%
  33   {\end{quote}}
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  39 \newenvironment{enumerate*}%
  40   {\begin{enumerate}%
  41     \setlength{\itemsep}{0pt}%
  42     \setlength{\parskip}{0pt}}%
  43   {\end{enumerate}}
  44 \newenvironment{itemize*}%
  45   {\begin{itemize}%
  46     \setlength{\itemsep}{0pt}%
  47     \setlength{\parskip}{0pt}}%
  48   {\end{itemize}}
  49 \oddsidemargin 0.0in
  50 \textwidth 6.5in
  51 \raggedbottom
  52 \clubpenalty = 10000
  53 \widowpenalty = 10000
  54 \pagestyle{fancy}
  55 \author{Don Armstrong}
  56 \title{OOL Kinetic Formalisms}
  57 %\date{}
  58 \onehalfspacing
  59 \begin{document}
  60 %\maketitle
  61
  62 <<results=hide,echo=FALSE>>=
  63 require(lattice)
  64 require(grid)
  65 # R in cal / mol K
  66 to.kcal <- function(k,temp=300) {
  67   gasconst <- 1.985
  68   return(-gasconst*temp*log(k)/1000)
  69 }
  70 @
  71
  72 \section{State Equation}
  73 % double check this with the bits in the paper
  74
  75 Given a base forward kinetic parameter for the $i$th specie $k_{fi}$
  76 (which is dependent on lipid type, that is PC, PE, PS, etc.), an
  77 adjustment parameter $k_{fi\mathrm{adj}}$ based on the vesicle and the
  78 specific specie (length, unsaturation, etc.) (see~\fref{eq:kf_adj}),
  79 the molar concentration of monomer of the $i$th specie
  80 $\left[C_{i_\mathrm{monomer}}\right]$, the surface area of the vesicle
  81 $S_\mathrm{ves}$, the base backwards kinetic parameter for the $i$th
  82 specie $k_{bi}$ which is also dependent on lipid type, its adjustment
  83 parameter $k_{bi\mathrm{adj}}$ (see~\fref{eq:kb_adj}), and the molar
  84 concentration of the $i$th specie in the vesicle $C_{i_\mathrm{ves}}$,
  85 the change in concentration of the $i$th specie in the vesicle per
  86 change in time $\frac{d C_{i_\mathrm{ves}}}{dt}$ can be calculated:
  87
  88 \begin{equation}
  89   \frac{d C_{i_\mathrm{ves}}}{dt} = k_{fi}k_{fi\mathrm{adj}}\left[C_{i_\mathrm{monomer}}\right]S_\mathrm{ves} -
  90   k_{bi}k_{bi\mathrm{adj}}C_{i_\mathrm{ves}}
  91   \label{eq:state}
  92 \end{equation}
  93
  94 For $k_{fi}k_{fi\mathrm{adj}}\left[C_{i_\mathrm{monomer}}\right]$,
  95 $k_{fi}$ has units of $\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}$,
  96 $k_{fi\mathrm{adj}}$ and $k_{bi\mathrm{adj}}$ are unitless,
  97 concentration is in units of $\frac{\mathrm{n}}{\mathrm{L}}$, surface
  98 area is in units of $\mathrm{m}^2$, $k_{bi}$ has units of
  99 $\frac{1}{\mathrm{s}}$ and $C_{i_\mathrm{ves}}$ has units of
 100 $\mathrm{n}$, Thus, we have
 101
 102 \begin{equation}
 103   \frac{\mathrm{n}}{\mathrm{s}} = \frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}} \frac{\mathrm{n}}{\mathrm{L}} \mathrm{m}^2 \frac{1000\mathrm{L}}{\mathrm{m}^3} -
 104   \frac{1}{\mathrm{s}} \mathrm{n}
 105   =
 106   \frac{\mathrm{m^3}}{\mathrm{s}} \frac{\mathrm{n}}{\mathrm{L}} \frac{1000\mathrm{L}}{\mathrm{m}^3} - \frac{\mathrm{n}}{\mathrm{s}}=
 107   \frac{\mathrm{n}}{\mathrm{s}} = 1000 \frac{\mathrm{n}}{\mathrm{s}} - \frac{\mathrm{n}}{\mathrm{s}}
 108   \label{eq:state_units}
 109 \end{equation}
 110
 111 The 1000 isn't in \fref{eq:state} above, because it is unit-dependent.
 112
 113 \subsection{Forward adjustments ($k_{fi\mathrm{adj}}$)}
 114
 115 The forward rate constant adjustment, $k_{fi\mathrm{adj}}$ takes into
 116 account unsaturation ($un_f$), charge ($ch_f$), curvature ($cu_f$),
 117 length ($l_f$), and complex formation ($CF1_f$), each of which are
 118 modified depending on the specific specie and the vesicle into which
 119 the specie is entering.
 120
 121 \begin{equation}
 122   k_{fi\mathrm{adj}} = un_f \cdot ch_f \cdot cu_f \cdot l_f \cdot CF1_f
 123   \label{eq:kf_adj}
 124 \end{equation}
 125
 126 \newpage
 127 \subsubsection{Unsaturation Forward}
 128
 129 In order for a lipid to be inserted into a membrane, a void has to be
 130 formed for it to fill. Voids can be generated by the combination of
 131 unsaturated and saturated lipids forming herterogeneous domains. Void
 132 formation is increased when the unsaturation of lipids in the vesicle
 133 is widely distributed; in other words, the insertion of lipids into
 134 the membrane is greater when the standard deviation of the
 135 unsaturation is larger. Assuming that an increase in width of the
 136 distribution linearly decreases the free energy of activation, the
 137 $un_f$ parameter must follow
 138 $x^{\mathrm{stdev}\left(un_\mathrm{ves}\right)}$ where $x > 1$, so a
 139 convenient starting base for $x$ is 2:
 140
 141 \begin{equation}
 142   un_f = 2^{\mathrm{stdev}\left(un_\mathrm{ves}\right)}
 143   \label{eq:unsaturation_forward}
 144 \end{equation}
 145
 146 \setkeys{Gin}{width=3.2in}
 147 <<fig=TRUE,echo=FALSE,results=hide,width=5,height=5>>=
 148 curve(2^x,from=0,to=sd(c(0,4)),
 149       main="Unsaturation Forward",
 150       xlab="Standard Deviation of Unsaturation of Vesicle",
 151       ylab="Unsaturation Forward Adjustment")
 152 @
 153 <<fig=TRUE,echo=FALSE,results=hide,width=5,height=5>>=
 154 curve(to.kcal(2^x),from=0,to=sd(c(0,4)),
 155       main="Unsaturation forward",
 156       xlab="Standard Deviation of Unsaturation of Vesicle",
 157       ylab="Unsaturation Forward (kcal/mol)")
 158 @
 159
 160
 161 \newpage
 162 \subsubsection{Charge Forward}
 163
 164 A charged lipid such as PS approaching a vesicle with an average
 165 charge of the same sign will experience repulsion, whereas those with
 166 different signs will experience attraction, the degree of which is
 167 dependent upon the charge of the monomer and the average charge of the
 168 vesicle. If either the vesicle or the monomer has no charge, there
 169 should be no effect of charge upon the rate. This leads us to the
 170 following equation, $x^{-\left<ch_v\right> ch_m}$, where
 171 $\left<ch_v\right>$ is the average charge of the vesicle, and $ch_m$
 172 is the charge of the monomer. If either $\left<ch_v\right>$ or $ch_m$
 173 is 0, the adjustment parameter is 1 (no change), whereas it decreases
 174 if both are positive or negative, as the product of two real numbers
 175 with the same sign is always positive. A convenient base for $x$ is
 176 60, resulting in the following equation:
 177
 178
 179 \begin{equation}
 180   ch_f = 60^{-\left<{ch}_v\right> {ch}_m}
 181   \label{eq:charge_forward}
 182 \end{equation}
 183
 184 <<fig=TRUE,echo=FALSE,results=hide,width=7,height=7>>=
 185 x <- seq(-1,0,length.out=20)
 186 y <- seq(-1,0,length.out=20)
 187 grid <- expand.grid(x=x,y=y)
 188 grid$z <- as.vector(60^(-outer(x,y)))
 189 print(wireframe(z~x*y,grid,cuts=50,
 190                 drape=TRUE,
 191                 scales=list(arrows=FALSE),
 192                 main="Charge Forward",
 193                 xlab=list("Average Vesicle Charge",rot=30),
 194                 ylab=list("Component Charge",rot=-35),
 195                 zlab=list("Charge Forward",rot=93)))
 196 rm(x,y,grid)
 197 @
 198 <<fig=TRUE,echo=FALSE,results=hide,width=7,height=7>>=
 199 x <- seq(-1,0,length.out=20)
 200 y <- seq(-1,0,length.out=20)
 201 grid <- expand.grid(x=x,y=y)
 202 grid$z <- as.vector(to.kcal(60^(-outer(x,y))))
 203 print(wireframe(z~x*y,grid,cuts=50,
 204                 drape=TRUE,
 205                 scales=list(arrows=FALSE),
 206                 main="Charge Forward (kcal/mol)",
 207                 xlab=list("Average Vesicle Charge",rot=30),
 208                 ylab=list("Component Charge",rot=-35),
 209                 zlab=list("Charge Forward (kcal/mol)",rot=93)))
 210 rm(x,y,grid)
 211 @
 212
 213
 214 \newpage
 215 \subsubsection{Curvature Forward}
 216
 217 Curvature is a measure of the intrinsic propensity of specific lipids
 218 to form micelles (positive curvature), inverted micelles (negative
 219 curvature), or planar sheets (zero curvature). In this formalism,
 220 curvature is measured as the ratio of the size of the head to that of
 221 the base, so negative curvature is bounded by $(0,1)$, zero curvature
 222 is 1, and positive curvature is bounded by $(1,\infty)$. The curvature
 223 can be transformed into the typical postive/negative mapping using
 224 $\log$, which has the additional property of making the range of
 225 positive and negative curvature equal, and distributed about 0.
 226
 227 As in the case of unsaturation, void formation is increased by the
 228 presence of lipids with mismatched curvature. Thus, a larger
 229 distribution of curvature in the vesicle increases the rate of lipid
 230 insertion into the vesicle. However, a species with curvature $e^-1$
 231 will cancel out a species with curvature $e$, so we have to log
 232 transform (turning these into -1 and 1), then take the absolute value
 233 (1 and 1), and finally measure the width of the distribution. Thus, by
 234 using the log transform to make the range of the lipid curvature equal
 235 between positive and negative, taking the absolute value to cancel out
 236 exactly mismatched curvatures, we come to an equation with the shape
 237 $x^{\mathrm{stdev}\left|\log cu_\mathrm{vesicle}\right|}$, and a
 238 convenient base for $x$ is 10, yielding:
 239
 240 {\color{red} Shouldn't a vesicle of -1,1,0 have the same activation
 241   energy as a vesicle of 0,0,0? It doesn't currently.}
 242
 243
 244 \begin{equation}
 245   cu_f = 10^{\mathrm{stdev}\left|\log cu_\mathrm{vesicle}\right|}
 246   \label{eq:curvature_forward}
 247 \end{equation}
 248
 249
 250 <<fig=TRUE,echo=FALSE,results=hide,width=7,height=5>>=
 251 curve(10^x,from=0,to=max(c(sd(abs(log(c(0.8,1.33)))),
 252                     sd(abs(log(c(1,1.33)))),
 253                     sd(abs(log(c(0.8,1)))))),
 254       main="Curvature forward",
 255       xlab="Standard Deviation of Absolute value of the Log of the Curvature of Vesicle",
 256       ylab="Curvature Forward Adjustment")
 257 @
 258 <<fig=TRUE,echo=FALSE,results=hide,width=7,height=5>>=
 259 curve(to.kcal(10^x),from=0,to=max(c(sd(abs(log(c(0.8,1.33)))),
 260                     sd(abs(log(c(1,1.33)))),
 261                     sd(abs(log(c(0.8,1)))))),
 262       main="Curvature forward",
 263       xlab="Standard Deviation of Absolute value of the Log of the Curvature of Vesicle",
 264       ylab="Curvature Forward Adjustment (kcal/mol)")
 265 @
 266
 267
 268 \newpage
 269 \subsubsection{Length Forward}
 270
 271 As in the case of unsaturation, void formation is easier when vesicles
 272 are made up of components of widely different lengths. Thus, when the
 273 width of the distribution of lengths is larger, the forward rate
 274 should be greater as well, leading us to an equation of the form
 275 $x^{\mathrm{stdev} l_\mathrm{ves}}$, where $\mathrm{stdev}
 276 l_\mathrm{ves}$ is the standard deviation of the length of the
 277 components of the vesicle, which has a maximum possible value of 8 and
 278 a minimum of 0 in this set of experiments. A convenient base for $x$
 279 is 2, leading to:
 280
 281 \begin{equation}
 282   l_f = 2^{\mathrm{stdev} l_\mathrm{ves}}
 283   \label{eq:length_forward}
 284 \end{equation}
 285
 286 <<fig=TRUE,echo=FALSE,results=hide,width=7,height=5>>=
 287 curve(2^x,from=0,to=sd(c(12,24)),
 288       main="Length forward",
 289       xlab="Standard Deviation of Length of Vesicle",
 290       ylab="Length Forward Adjustment")
 291 @
 292 <<fig=TRUE,echo=FALSE,results=hide,width=7,height=5>>=
 293 curve(to.kcal(2^x),from=0,to=sd(c(12,24)),
 294       main="Length forward",
 295       xlab="Standard Deviation of Length of Vesicle",
 296       ylab="Length Forward Adjustment (kcal/mol)")
 297 @
 298
 299
 300 \subsubsection{Complex Formation}
 301 There is no contribution of complex formation to the forward reaction
 302 rate in the current formalism.
 303
 304 \begin{equation}
 305   CF1_f=1
 306   \label{eq:complex_formation_forward}
 307 \end{equation}
 308
 309 \subsection{Backward adjustments ($k_{bi\mathrm{adj}}$)}
 310
 311 Just as the forward rate constant adjustment $k_{fi\mathrm{adj}}$
 312 does, the backwards rate constant adjustment $k_{bi\mathrm{adj}}$
 313 takes into account unsaturation ($un_b$), charge ($ch_b$), curvature
 314 ($cu_b$), length ($l_b$), and complex formation ($CF1_b$), each of
 315 which are modified depending on the specific specie and the vesicle
 316 into which the specie is entering:
 317
 318
 319 \begin{equation}
 320   k_{bi\mathrm{adj}} = un_b \cdot ch_b \cdot cu_b \cdot l_b \cdot CF1_b
 321   \label{eq:kb_adj}
 322 \end{equation}
 323
 324 \subsubsection{Unsaturation Backward}
 325
 326 Unsaturation also influences the ability of a lipid molecule to leave
 327 a membrane. If a molecule has an unsaturation level which is different
 328 from the surrounding membrane, it will be more likely to leave the
 329 membrane. The more different the unsaturation level is, the greater
 330 the propensity for the lipid molecule to leave. Therefore, an equation
 331 with the shape
 332 $x^{\left|y^{-\left<un_\mathrm{ves}\right>}-y^{-un_\mathrm{monomer}}\right|}$
 333 where $\left<un_\mathrm{ves}\right>$ is the average unsaturation of
 334 the vesicle, and $un_\mathrm{monomer}$ is the average unsaturation. In
 335 this equation, as the average unsaturation of the vesicle is larger,
 336
 337 \begin{equation}
 338   un_b = 10^{\left|3.5^{-\left<un_\mathrm{ves}\right>}-3.5^{-un_\mathrm{monomer}}\right|}
 339   \label{eq:unsaturation_backward}
 340 \end{equation}
 341
 342 <<fig=TRUE,echo=FALSE,results=hide,width=7,height=7>>=
 343 grid <- expand.grid(x=seq(0,4,length.out=20),
 344                     y=seq(0,4,length.out=20))
 345 grid$z <- 10^(abs(3.5^-grid$x-3.5^-grid$y))
 346 print(wireframe(z~x*y,grid,cuts=50,
 347           drape=TRUE,
 348           scales=list(arrows=FALSE),
 349           xlab=list("Average Vesicle Unsaturation",rot=30),
 350           ylab=list("Monomer Unsaturation",rot=-35),
 351           zlab=list("Unsaturation Backward",rot=93)))
 352 rm(grid)
 353 @
 354 <<fig=TRUE,echo=FALSE,results=hide,width=7,height=7>>=
 355 grid <- expand.grid(x=seq(0,4,length.out=20),
 356                     y=seq(0,4,length.out=20))
 357 grid$z <- to.kcal(10^(abs(3.5^-grid$x-3.5^-grid$y)))
 358 print(wireframe(z~x*y,grid,cuts=50,
 359           drape=TRUE,
 360           scales=list(arrows=FALSE),
 361           xlab=list("Average Vesicle Unsaturation",rot=30),
 362           ylab=list("Monomer Unsaturation",rot=-35),
 363           zlab=list("Unsaturation Backward (kcal/mol)",rot=93)))
 364 rm(grid)
 365 @
 366
 367
 368 \newpage
 369 \subsubsection{Charge Backwards}
 370 \begin{equation}
 371   ch_b = 20^{\left<{ch}_v\right> {ch}_m}
 372   \label{eq:charge_backwards}
 373 \end{equation}
 374
 375 <<fig=TRUE,echo=FALSE,results=hide,width=7,height=7>>=
 376 x <- seq(-1,0,length.out=20)
 377 y <- seq(-1,0,length.out=20)
 378 grid <- expand.grid(x=x,y=y)
 379 grid$z <- as.vector(20^(outer(x,y)))
 380 print(wireframe(z~x*y,grid,cuts=50,
 381           drape=TRUE,
 382           scales=list(arrows=FALSE),
 383           xlab=list("Average Vesicle Charge",rot=30),
 384           ylab=list("Component Charge",rot=-35),
 385           zlab=list("Charge Backwards",rot=93)))
 386 rm(x,y,grid)
 387 @
 388 <<fig=TRUE,echo=FALSE,results=hide,width=7,height=7>>=
 389 x <- seq(-1,0,length.out=20)
 390 y <- seq(-1,0,length.out=20)
 391 grid <- expand.grid(x=x,y=y)
 392 grid$z <- to.kcal(as.vector(20^(outer(x,y))))
 393 print(wireframe(z~x*y,grid,cuts=50,
 394           drape=TRUE,
 395           scales=list(arrows=FALSE),
 396           xlab=list("Average Vesicle Charge",rot=30),
 397           ylab=list("Component Charge",rot=-35),
 398           zlab=list("Charge Backwards (kcal/mol)",rot=93)))
 399 rm(x,y,grid)
 400 @
 401
 402 \newpage
 403 \subsubsection{Curvature Backwards}
 404 \begin{equation}
 405   cu_f = 7^{1-\left(20\left(\log_{e} cu_\mathrm{vesicle}-\log_{e} cu_\mathrm{monomer}\right)^2+1\right)^{-1}}
 406   \label{eq:curvature_backwards}
 407 \end{equation}
 408
 409 <<fig=TRUE,echo=FALSE,results=hide,width=7,height=7>>=
 410 grid <- expand.grid(x=seq(0.8,1.33,length.out=20),
 411                     y=seq(0.8,1.33,length.out=20))
 412 grid$z <- 7^(1-1/(20*(log(grid$x)-log(grid$y))^2+1))
 413 print(wireframe(z~x*y,grid,cuts=50,
 414           drape=TRUE,
 415           scales=list(arrows=FALSE),
 416           xlab=list("Vesicle Curvature",rot=30),
 417           ylab=list("Monomer Curvature",rot=-35),
 418           zlab=list("Curvature Backward",rot=93)))
 419 rm(grid)
 420 @
 421 <<fig=TRUE,echo=FALSE,results=hide,width=7,height=7>>=
 422 grid <- expand.grid(x=seq(0.8,1.33,length.out=20),
 423                     y=seq(0.8,1.33,length.out=20))
 424 grid$z <- to.kcal(7^(1-1/(20*(log(grid$x)-log(grid$y))^2+1)))
 425 print(wireframe(z~x*y,grid,cuts=50,
 426           drape=TRUE,
 427           scales=list(arrows=FALSE),
 428           xlab=list("Vesicle Curvature",rot=30),
 429           ylab=list("Monomer Curvature",rot=-35),
 430           zlab=list("Curvature Backward (kcal/mol)",rot=93)))
 431 rm(grid)
 432 @
 433
 434
 435 \newpage
 436 \subsubsection{Length Backwards}
 437 \begin{equation}
 438   l_b = 3.2^{\left|l_\mathrm{ves}-l_\mathrm{monomer}\right|}
 439   \label{eq:length_backward}
 440 \end{equation}
 441
 442 <<fig=TRUE,echo=FALSE,results=hide,width=7,height=7>>=
 443 grid <- expand.grid(x=seq(12,24,length.out=20),
 444                     y=seq(12,24,length.out=20))
 445 grid$z <- 3.2^(abs(grid$x-grid$y))
 446 print(wireframe(z~x*y,grid,cuts=50,
 447           drape=TRUE,
 448           scales=list(arrows=FALSE),
 449           xlab=list("Average Vesicle Length",rot=30),
 450           ylab=list("Monomer Length",rot=-35),
 451           zlab=list("Length Backward",rot=93)))
 452 rm(grid)
 453 @
 454 <<fig=TRUE,echo=FALSE,results=hide,width=7,height=7>>=
 455 grid <- expand.grid(x=seq(12,24,length.out=20),
 456                     y=seq(12,24,length.out=20))
 457 grid$z <- to.kcal(3.2^(abs(grid$x-grid$y)))
 458 print(wireframe(z~x*y,grid,cuts=50,
 459           drape=TRUE,
 460           scales=list(arrows=FALSE),
 461           xlab=list("Average Vesicle Length",rot=30),
 462           ylab=list("Monomer Length",rot=-35),
 463           zlab=list("Length Backward (kcal/mol)",rot=93)))
 464 rm(grid)
 465 @
 466
 467
 468 \newpage
 469 \subsubsection{Complex Formation Backward}
 470 \begin{equation}
 471   CF1_b=1.5^{CF1_\mathrm{ves} CF1_\mathrm{monomer}-\left|CF1_\mathrm{ves} CF1_\mathrm{monomer}\right|}
 472   \label{eq:complex_formation_backward}
 473 \end{equation}
 474
 475 <<fig=TRUE,echo=FALSE,results=hide,width=7,height=7>>=
 476 grid <- expand.grid(x=seq(-1,3,length.out=20),
 477                     y=seq(-1,3,length.out=20))
 478 grid$z <- 3.2^(grid$x*grid$y-abs(grid$x*grid$y))
 479 print(wireframe(z~x*y,grid,cuts=50,
 480           drape=TRUE,
 481           scales=list(arrows=FALSE),
 482           xlab=list("Vesicle Complex Formation",rot=30),
 483           ylab=list("Monomer Complex Formation",rot=-35),
 484           zlab=list("Complex Formation Backward",rot=93)))
 485 rm(grid)
 486 @
 487 <<fig=TRUE,echo=FALSE,results=hide,width=7,height=7>>=
 488 grid <- expand.grid(x=seq(-1,3,length.out=20),
 489                     y=seq(-1,3,length.out=20))
 490 grid$z <- to.kcal(3.2^(grid$x*grid$y-abs(grid$x*grid$y)))
 491 print(wireframe(z~x*y,grid,cuts=50,
 492           drape=TRUE,
 493           scales=list(arrows=FALSE),
 494           xlab=list("Vesicle Complex Formation",rot=30),
 495           ylab=list("Monomer Complex Formation",rot=-35),
 496           zlab=list("Complex Formation Backward (kcal/mol)",rot=93)))
 497 rm(grid)
 498 @
 499
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 504 % \bibliographystyle{plainnat}
 505 % \bibliography{references.bib}
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