kinetic_formalism.Rnw

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  20 \newenvironment{narrow}[2]{%
  21   \begin{list}{}{%
  22       \setlength{\topsep}{0pt}%
  23       \setlength{\leftmargin}{#1}%
  24       \setlength{\rightmargin}{#2}%
  25       \setlength{\listparindent}{\parindent}%
  26       \setlength{\itemindent}{\parindent}%
  27       \setlength{\parsep}{\parskip}}%
  28   \item[]}{\end{list}}
  29 \newenvironment{paperquote}{%
  30   \begin{quote}%
  31      \it
  32   }%
  33   {\end{quote}}
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  39 \newenvironment{enumerate*}%
  40   {\begin{enumerate}%
  41     \setlength{\itemsep}{0pt}%
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  43   {\end{enumerate}}
  44 \newenvironment{itemize*}%
  45   {\begin{itemize}%
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  47     \setlength{\parskip}{0pt}}%
  48   {\end{itemize}}
  49 \oddsidemargin 0.0in
  50 \textwidth 6.5in
  51 \raggedbottom
  52 \clubpenalty = 10000
  53 \widowpenalty = 10000
  54 \pagestyle{fancy}
  55 \author{Don Armstrong}
  56 \title{OOL Kinetic Formalisms}
  57 %\date{}
  58 \onehalfspacing
  59 \begin{document}
  60 %\maketitle
  61
  62 <<results=hide,echo=FALSE>>=
  63 require(lattice)
  64 require(grid)
  65 # R in cal / mol K
  66 to.kcal <- function(k,temp=300) {
  67   gasconst <- 1.985
  68   return(-gasconst*temp*log(k)/1000)
  69 }
  70 @
  71
  72 \section{State Equation}
  73 % double check this with the bits in the paper
  74
  75 Given a base forward kinetic parameter for the $i$th specie $k_{fi}$
  76 (which is dependent on lipid type, that is PC, PE, PS, etc.), an
  77 adjustment parameter $k_{fi\mathrm{adj}}$ based on the vesicle and the
  78 specific specie (length, unsaturation, etc.) (see~\fref{eq:kf_adj}),
  79 the molar concentration of monomer of the $i$th specie
  80 $\left[C_{i_\mathrm{monomer}}\right]$, the surface area of the vesicle
  81 $S_\mathrm{ves}$, the base backwards kinetic parameter for the $i$th
  82 specie $k_{bi}$ which is also dependent on lipid type, its adjustment
  83 parameter $k_{bi\mathrm{adj}}$ (see~\fref{eq:kb_adj}), and the molar
  84 concentration of the $i$th specie in the vesicle $C_{i_\mathrm{ves}}$,
  85 the change in concentration of the $i$th specie in the vesicle per
  86 change in time $\frac{d C_{i_\mathrm{ves}}}{dt}$ can be calculated:
  87
  88 \begin{equation}
  89   \frac{d C_{i_\mathrm{ves}}}{dt} = k_{fi}k_{fi\mathrm{adj}}\left[C_{i_\mathrm{monomer}}\right]S_\mathrm{ves} -
  90   k_{bi}k_{bi\mathrm{adj}}C_{i_\mathrm{ves}}
  91   \label{eq:state}
  92 \end{equation}
  93
  94 For $k_{fi}k_{fi\mathrm{adj}}\left[C_{i_\mathrm{monomer}}\right]$,
  95 $k_{fi}$ has units of $\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}$,
  96 $k_{fi\mathrm{adj}}$ and $k_{bi\mathrm{adj}}$ are unitless,
  97 concentration is in units of $\frac{\mathrm{n}}{\mathrm{L}}$, surface
  98 area is in units of $\mathrm{m}^2$, $k_{bi}$ has units of
  99 $\frac{1}{\mathrm{s}}$ and $C_{i_\mathrm{ves}}$ has units of
 100 $\mathrm{n}$, Thus, we have
 101
 102 \begin{equation}
 103   \frac{\mathrm{n}}{\mathrm{s}} = \frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}} \frac{\mathrm{n}}{\mathrm{L}} \mathrm{m}^2 \frac{1000\mathrm{L}}{\mathrm{m}^3} -
 104   \frac{1}{\mathrm{s}} \mathrm{n}
 105   =
 106   \frac{\mathrm{m^3}}{\mathrm{s}} \frac{\mathrm{n}}{\mathrm{L}} \frac{1000\mathrm{L}}{\mathrm{m}^3} - \frac{\mathrm{n}}{\mathrm{s}}=
 107   \frac{\mathrm{n}}{\mathrm{s}} = 1000 \frac{\mathrm{n}}{\mathrm{s}} - \frac{\mathrm{n}}{\mathrm{s}}
 108   \label{eq:state_units}
 109 \end{equation}
 110
 111 The 1000 isn't in \fref{eq:state} above, because it is unit-dependent.
 112
 113 \subsection{Forward adjustments ($k_{fi\mathrm{adj}}$)}
 114
 115 The forward rate constant adjustment, $k_{fi\mathrm{adj}}$ takes into
 116 account unsaturation ($un_f$), charge ($ch_f$), curvature ($cu_f$),
 117 length ($l_f$), and complex formation ($CF1_f$), each of which are
 118 modified depending on the specific specie and the vesicle into which
 119 the specie is entering.
 120
 121 \begin{equation}
 122   k_{fi\mathrm{adj}} = un_f \cdot ch_f \cdot cu_f \cdot l_f \cdot CF1_f
 123   \label{eq:kf_adj}
 124 \end{equation}
 125
 126 \newpage
 127 \subsubsection{Unsaturation Forward}
 128
 129 In order for a lipid to be inserted into a membrane, a void has to be
 130 formed for it to fill. Voids can be generated by the combination of
 131 unsaturated and saturated lipids forming herterogeneous domains. Void
 132 formation is increased when the unsaturation of lipids in the vesicle
 133 is widely distributed; in other words, the insertion of lipids into
 134 the membrane is greater when the standard deviation of the
 135 unsaturation is larger. Assuming that an increase in width of the
 136 distribution linearly decreases the free energy of activation, the
 137 $un_f$ parameter must follow
 138 $a^{\mathrm{stdev}\left(un_\mathrm{ves}\right)}$ where $a > 1$, so a
 139 convenient starting base for $a$ is $2$:
 140
 141 \begin{equation}
 142   un_f = 2^{\mathrm{stdev}\left(un_\mathrm{ves}\right)}
 143   \label{eq:unsaturation_forward}
 144 \end{equation}
 145
 146 The most common $\mathrm{stdev}\left(un_\mathrm{ves}\right)$ is around
 147 $1.5$, which leads to a $\Delta \Delta G^\ddagger$ of
 148 $\Sexpr{format(digits=3,to.kcal(2^1.5))}
 149 \frac{\mathrm{kcal}}{\mathrm{mol}}$.
 150
 151 \setkeys{Gin}{width=3.2in}
 152 <<fig=TRUE,echo=FALSE,results=hide,width=5,height=5>>=
 153 curve(2^x,from=0,to=sd(c(0,4)),
 154       main="Unsaturation Forward",
 155       xlab="Standard Deviation of Unsaturation of Vesicle",
 156       ylab="Unsaturation Forward Adjustment")
 157 @
 158 <<fig=TRUE,echo=FALSE,results=hide,width=5,height=5>>=
 159 curve(to.kcal(2^x),from=0,to=sd(c(0,4)),
 160       main="Unsaturation forward",
 161       xlab="Standard Deviation of Unsaturation of Vesicle",
 162       ylab="Unsaturation Forward (kcal/mol)")
 163 @
 164
 165
 166 \newpage
 167 \subsubsection{Charge Forward}
 168
 169 A charged lipid such as PS approaching a vesicle with an average
 170 charge of the same sign will experience repulsion, whereas those with
 171 different signs will experience attraction, the degree of which is
 172 dependent upon the charge of the monomer and the average charge of the
 173 vesicle. If either the vesicle or the monomer has no charge, there
 174 should be no effect of charge upon the rate. This leads us to the
 175 following equation, $a^{-\left<ch_v\right> ch_m}$, where
 176 $\left<ch_v\right>$ is the average charge of the vesicle, and $ch_m$
 177 is the charge of the monomer. If either $\left<ch_v\right>$ or $ch_m$
 178 is 0, the adjustment parameter is 1 (no change), whereas it decreases
 179 if both are positive or negative, as the product of two real numbers
 180 with the same sign is always positive. A convenient base for $a$ is
 181 60, resulting in the following equation:
 182
 183
 184 \begin{equation}
 185   ch_f = 60^{-\left<{ch}_v\right> {ch}_m}
 186   \label{eq:charge_forward}
 187 \end{equation}
 188
 189 The most common $\left<{ch}_v\right>$ is around $-0.165$, which leads to
 190 a range of $\Delta \Delta G^\ddagger$ from
 191 $\Sexpr{format(digits=3,to.kcal(60^(-.165*-1)))}
 192 \frac{\mathrm{kcal}}{\mathrm{mol}}$ to $0\frac{\mathrm{kcal}}{\mathrm{mol}}$.
 193
 194 <<fig=TRUE,echo=FALSE,results=hide,width=7,height=7>>=
 195 x <- seq(-1,0,length.out=20)
 196 y <- seq(-1,0,length.out=20)
 197 grid <- expand.grid(x=x,y=y)
 198 grid$z <- as.vector(60^(-outer(x,y)))
 199 print(wireframe(z~x*y,grid,cuts=50,
 200                 drape=TRUE,
 201                 scales=list(arrows=FALSE),
 202                 main="Charge Forward",
 203                 xlab=list("Average Vesicle Charge",rot=30),
 204                 ylab=list("Component Charge",rot=-35),
 205                 zlab=list("Charge Forward",rot=93)))
 206 rm(x,y,grid)
 207 @
 208 <<fig=TRUE,echo=FALSE,results=hide,width=7,height=7>>=
 209 x <- seq(-1,0,length.out=20)
 210 y <- seq(-1,0,length.out=20)
 211 grid <- expand.grid(x=x,y=y)
 212 grid$z <- as.vector(to.kcal(60^(-outer(x,y))))
 213 print(wireframe(z~x*y,grid,cuts=50,
 214                 drape=TRUE,
 215                 scales=list(arrows=FALSE),
 216                 main="Charge Forward (kcal/mol)",
 217                 xlab=list("Average Vesicle Charge",rot=30),
 218                 ylab=list("Component Charge",rot=-35),
 219                 zlab=list("Charge Forward (kcal/mol)",rot=93)))
 220 rm(x,y,grid)
 221 @
 222
 223
 224 \newpage
 225 \subsubsection{Curvature Forward}
 226
 227 Curvature is a measure of the intrinsic propensity of specific lipids
 228 to form micelles (positive curvature), inverted micelles (negative
 229 curvature), or planar sheets (zero curvature). In this formalism,
 230 curvature is measured as the ratio of the size of the head to that of
 231 the base, so negative curvature is bounded by $(0,1)$, zero curvature
 232 is 1, and positive curvature is bounded by $(1,\infty)$. The curvature
 233 can be transformed into the typical postive/negative mapping using
 234 $\log$, which has the additional property of making the range of
 235 positive and negative curvature equal, and distributed about 0.
 236
 237 As in the case of unsaturation, void formation is increased by the
 238 presence of lipids with mismatched curvature. Thus, a larger
 239 distribution of curvature in the vesicle increases the rate of lipid
 240 insertion into the vesicle. However, a species with curvature $e^{-1}$
 241 will cancel out a species with curvature $e$, so we have to log
 242 transform (turning these into -1 and 1), then take the absolute value
 243 (1 and 1), and finally measure the width of the distribution. Thus, by
 244 using the log transform to make the range of the lipid curvature equal
 245 between positive and negative, and taking the average to cancel out
 246 exactly mismatched curvatures, we come to an equation with the shape
 247 $a^{\left<\log cu_\mathrm{vesicle}\right>}$. A convenient base for $a$
 248 is $10$, yielding:
 249
 250
 251 \begin{equation}
 252  % cu_f = 10^{\mathrm{stdev}\left|\log cu_\mathrm{vesicle}\right|}
 253   cu_f = 10^{\left|\left<\log cu_\mathrm{vesicle} \right>\right|\mathrm{stdev} \left|\log cu_\mathrm{vesicle}\right|}
 254   \label{eq:curvature_forward}
 255 \end{equation}
 256
 257 The most common $\left|\left<\log {cu}_v\right>\right|$ is around
 258 $0.013$, which with the most common $\mathrm{stdev} \log
 259 cu_\mathrm{vesicle}$ of $0.213$ leads to a $\Delta \Delta G^\ddagger$
 260 of $\Sexpr{format(digits=3,to.kcal(10^(0.13*0.213)))}
 261 \frac{\mathrm{kcal}}{\mathrm{mol}}$. This is a consequence of the
 262 relatively matched curvatures in our environment.
 263
 264 % 1.5 to 0.75 3 to 0.33
 265 <<fig=TRUE,echo=FALSE,results=hide,width=7,height=7>>=
 266 grid <- expand.grid(x=seq(0,max(c(sd(abs(log(c(1,3)))),
 267                       sd(abs(log(c(1,0.33)))),sd(abs(log(c(0.33,3)))))),length.out=20),
 268                     y=seq(0,max(c(mean(log(c(1,3)),
 269                       mean(log(c(1,0.33))),
 270                       mean(log(c(0.33,3)))))),length.out=20))
 271 grid$z <- 10^(grid$x*grid$y)
 272 print(wireframe(z~x*y,grid,cuts=50,
 273           drape=TRUE,
 274           scales=list(arrows=FALSE),
 275           xlab=list("Vesicle stdev log curvature",rot=30),
 276           ylab=list("Vesicle average log curvature",rot=-35),
 277           zlab=list("Vesicle Curvature Forward",rot=93)))
 278 rm(grid)
 279 @
 280 <<fig=TRUE,echo=FALSE,results=hide,width=7,height=7>>=
 281 grid <- expand.grid(x=seq(0,max(c(sd(abs(log(c(1,3)))),
 282                       sd(abs(log(c(1,0.33)))),sd(abs(log(c(0.33,3)))))),length.out=20),
 283                     y=seq(0,max(c(mean(log(c(1,3)),
 284                       mean(log(c(1,0.33))),
 285                       mean(log(c(0.33,3)))))),length.out=20))
 286 grid$z <- to.kcal(10^(grid$x*grid$y))
 287 print(wireframe(z~x*y,grid,cuts=50,
 288           drape=TRUE,
 289           scales=list(arrows=FALSE),
 290           xlab=list("Vesicle stdev log curvature",rot=30),
 291           ylab=list("Vesicle average log curvature",rot=-35),
 292           zlab=list("Vesicle Curvature Forward (kcal/mol)",rot=93)))
 293 rm(grid)
 294 @
 295
 296 \newpage
 297 \subsubsection{Length Forward}
 298
 299 As in the case of unsaturation, void formation is easier when vesicles
 300 are made up of components of widely different lengths. Thus, when the
 301 width of the distribution of lengths is larger, the forward rate
 302 should be greater as well, leading us to an equation of the form
 303 $x^{\mathrm{stdev} l_\mathrm{ves}}$, where $\mathrm{stdev}
 304 l_\mathrm{ves}$ is the standard deviation of the length of the
 305 components of the vesicle, which has a maximum possible value of 8 and
 306 a minimum of 0 in this set of experiments. A convenient base for $x$
 307 is 2, leading to:
 308
 309 \begin{equation}
 310   l_f = 2^{\mathrm{stdev} l_\mathrm{ves}}
 311   \label{eq:length_forward}
 312 \end{equation}
 313
 314 The most common $\mathrm{stdev} l_\mathrm{ves}$ is around $3.4$, which leads to
 315 a range of $\Delta \Delta G^\ddagger$ of
 316 $\Sexpr{format(digits=3,to.kcal(2^(3.4)))}
 317 \frac{\mathrm{kcal}}{\mathrm{mol}}$.
 318
 319
 320 <<fig=TRUE,echo=FALSE,results=hide,width=7,height=5>>=
 321 curve(2^x,from=0,to=sd(c(12,24)),
 322       main="Length forward",
 323       xlab="Standard Deviation of Length of Vesicle",
 324       ylab="Length Forward Adjustment")
 325 @
 326 <<fig=TRUE,echo=FALSE,results=hide,width=7,height=5>>=
 327 curve(to.kcal(2^x),from=0,to=sd(c(12,24)),
 328       main="Length forward",
 329       xlab="Standard Deviation of Length of Vesicle",
 330       ylab="Length Forward Adjustment (kcal/mol)")
 331 @
 332
 333
 334 \subsubsection{Complex Formation}
 335 There is no contribution of complex formation to the forward reaction
 336 rate in the current formalism.
 337
 338 \begin{equation}
 339   CF1_f=1
 340   \label{eq:complex_formation_forward}
 341 \end{equation}
 342
 343 \subsection{Backward adjustments ($k_{bi\mathrm{adj}}$)}
 344
 345 Just as the forward rate constant adjustment $k_{fi\mathrm{adj}}$
 346 does, the backwards rate constant adjustment $k_{bi\mathrm{adj}}$
 347 takes into account unsaturation ($un_b$), charge ($ch_b$), curvature
 348 ($cu_b$), length ($l_b$), and complex formation ($CF1_b$), each of
 349 which are modified depending on the specific specie and the vesicle
 350 into which the specie is entering:
 351
 352
 353 \begin{equation}
 354   k_{bi\mathrm{adj}} = un_b \cdot ch_b \cdot cu_b \cdot l_b \cdot CF1_b
 355   \label{eq:kb_adj}
 356 \end{equation}
 357
 358 \subsubsection{Unsaturation Backward}
 359
 360 Unsaturation also influences the ability of a lipid molecule to leave
 361 a membrane. If a molecule has an unsaturation level which is different
 362 from the surrounding membrane, it will be more likely to leave the
 363 membrane. The more different the unsaturation level is, the greater
 364 the propensity for the lipid molecule to leave. However, a vesicle
 365 with some unsaturation is more favorable for lipids with more
 366 unsaturation than the equivalent amount of less unsatuturation, so the
 367 difference in energy between unsaturation is not linear. Therefore, an
 368 equation with the shape
 369 $x^{\left| y^{-\left< un_\mathrm{ves}\right> }-y^{-un_\mathrm{monomer}} \right| }$
 370 where $\left<un_\mathrm{ves}\right>$ is the average unsaturation of
 371 the vesicle, and $un_\mathrm{monomer}$ is the average unsaturation. In
 372 this equation, as the average unsaturation of the vesicle is larger,
 373
 374 \begin{equation}
 375   un_b = 10^{\left(2^{- \left< un_\mathrm{ves} \right> }
 376       -2^{-un_\mathrm{monomer}}\right)^2}
 377   \label{eq:unsaturation_backward}
 378 \end{equation}
 379
 380 The most common $\left<un_\mathrm{ves}\right>$ is around $1.7$, which leads to
 381 a range of $\Delta \Delta G^\ddagger$ from
 382 $\Sexpr{format(digits=3,to.kcal(10^((2^-1.7-2^-0)^2)))}
 383 \frac{\mathrm{kcal}}{\mathrm{mol}}$ for monomers with 0 unsaturation
 384 to
 385 $\Sexpr{format(digits=3,to.kcal(10^((2^-1.7-2^-4)^2)))}\frac{\mathrm{kcal}}{\mathrm{mol}}$
 386 for monomers with 4 unsaturations.
 387
 388
 389 <<fig=TRUE,echo=FALSE,results=hide,width=7,height=7>>=
 390 grid <- expand.grid(x=seq(0,4,length.out=20),
 391                     y=seq(0,4,length.out=20))
 392 grid$z <- 10^((2^-grid$x-2^-grid$y)^2)
 393 print(wireframe(z~x*y,grid,cuts=50,
 394           drape=TRUE,
 395           scales=list(arrows=FALSE),
 396           xlab=list("Average Vesicle Unsaturation",rot=30),
 397           ylab=list("Monomer Unsaturation",rot=-35),
 398           zlab=list("Unsaturation Backward",rot=93)))
 399 rm(grid)
 400 @
 401 <<fig=TRUE,echo=FALSE,results=hide,width=7,height=7>>=
 402 grid <- expand.grid(x=seq(0,4,length.out=20),
 403                     y=seq(0,4,length.out=20))
 404 grid$z <- to.kcal(10^((2^-grid$x-2^-grid$y)^2))
 405 print(wireframe(z~x*y,grid,cuts=50,
 406           drape=TRUE,
 407           scales=list(arrows=FALSE),
 408           xlab=list("Average Vesicle Unsaturation",rot=30),
 409           ylab=list("Monomer Unsaturation",rot=-35),
 410           zlab=list("Unsaturation Backward (kcal/mol)",rot=93)))
 411 rm(grid)
 412 @
 413
 414 \subsubsection{Unsaturation Backward II}
 415
 416 Unsaturation also influences the ability of a lipid molecule to leave
 417 a membrane. If a molecule has an unsaturation level which is different
 418 from the surrounding membrane, it will be more likely to leave the
 419 membrane. The more different the unsaturation level is, the greater
 420 the propensity for the lipid molecule to leave. However, a vesicle
 421 with some unsaturation is more favorable for lipids with more
 422 unsaturation than the equivalent amount of less unsatuturation, so the
 423 difference in energy between unsaturation is not linear. Therefore, an
 424 equation with the shape
 425 $x^{\left| y^{-\left< un_\mathrm{ves}\right> }-y^{-un_\mathrm{monomer}} \right| }$
 426 where $\left<un_\mathrm{ves}\right>$ is the average unsaturation of
 427 the vesicle, and $un_\mathrm{monomer}$ is the average unsaturation. In
 428 this equation, as the average unsaturation of the vesicle is larger,
 429
 430 \begin{equation}
 431   un_b = 7^{1-\left(20\left(2^{-\left<un_\mathrm{vesicle} \right>} - 2^{-un_\mathrm{monomer}} \right)^2+1\right)^{-1}}
 432   \label{eq:unsaturation_backward}
 433 \end{equation}
 434
 435 The most common $\left<un_\mathrm{ves}\right>$ is around $1.7$, which leads to
 436 a range of $\Delta \Delta G^\ddagger$ from
 437 $\Sexpr{format(digits=3,to.kcal(7^(1-1/(5*(2^-1.7-2^-0)^2+1))))}
 438 \frac{\mathrm{kcal}}{\mathrm{mol}}$ for monomers with 0 unsaturation
 439 to
 440 $\Sexpr{format(digits=3,to.kcal(7^(1-1/(5*(2^-1.7-2^-4)^2+1))))}\frac{\mathrm{kcal}}{\mathrm{mol}}$
 441 for monomers with 4 unsaturations.
 442
 443
 444 <<fig=TRUE,echo=FALSE,results=hide,width=7,height=7>>=
 445 grid <- expand.grid(x=seq(0,4,length.out=20),
 446                     y=seq(0,4,length.out=20))
 447 grid$z <- (7^(1-1/(5*(2^-grid$x-2^-grid$y)^2+1)))
 448 print(wireframe(z~x*y,grid,cuts=50,
 449           drape=TRUE,
 450           scales=list(arrows=FALSE),
 451           xlab=list("Average Vesicle Unsaturation",rot=30),
 452           ylab=list("Monomer Unsaturation",rot=-35),
 453           zlab=list("Unsaturation Backward",rot=93)))
 454 rm(grid)
 455 @
 456 <<fig=TRUE,echo=FALSE,results=hide,width=7,height=7>>=
 457 grid <- expand.grid(x=seq(0,4,length.out=20),
 458                     y=seq(0,4,length.out=20))
 459 grid$z <- to.kcal((7^(1-1/(5*(2^-grid$x-2^-grid$y)^2+1))))
 460 print(wireframe(z~x*y,grid,cuts=50,
 461           drape=TRUE,
 462           scales=list(arrows=FALSE),
 463           xlab=list("Average Vesicle Unsaturation",rot=30),
 464           ylab=list("Monomer Unsaturation",rot=-35),
 465           zlab=list("Unsaturation Backward (kcal/mol)",rot=93)))
 466 rm(grid)
 467 @
 468
 469
 470
 471 \newpage
 472 \subsubsection{Charge Backwards}
 473 As in the case of monomers entering a vesicle, monomers leaving a
 474 vesicle leave faster if their charge has the same sign as the average
 475 charge vesicle. An equation of the form $ch_b = a^{\left<ch_v\right>
 476   ch_m}$ is then appropriate, and using a base of $a=20$ yields:
 477
 478 \begin{equation}
 479   ch_b = 20^{\left<{ch}_v\right> {ch}_m}
 480   \label{eq:charge_backwards}
 481 \end{equation}
 482
 483 The most common $\left<ch_v\right>$ is around $-0.164$, which leads to
 484 a range of $\Delta \Delta G^\ddagger$ from
 485 $\Sexpr{format(digits=3,to.kcal(20^(-.164*-1)))}
 486 \frac{\mathrm{kcal}}{\mathrm{mol}}$ for monomers with charge $-1$ to
 487 $0\frac{\mathrm{kcal}}{\mathrm{mol}}$
 488 for monomers with charge $0$.
 489
 490
 491 <<fig=TRUE,echo=FALSE,results=hide,width=7,height=7>>=
 492 x <- seq(-1,0,length.out=20)
 493 y <- seq(-1,0,length.out=20)
 494 grid <- expand.grid(x=x,y=y)
 495 grid$z <- as.vector(20^(outer(x,y)))
 496 print(wireframe(z~x*y,grid,cuts=50,
 497           drape=TRUE,
 498           scales=list(arrows=FALSE),
 499           xlab=list("Average Vesicle Charge",rot=30),
 500           ylab=list("Component Charge",rot=-35),
 501           zlab=list("Charge Backwards",rot=93)))
 502 rm(x,y,grid)
 503 @
 504 <<fig=TRUE,echo=FALSE,results=hide,width=7,height=7>>=
 505 x <- seq(-1,0,length.out=20)
 506 y <- seq(-1,0,length.out=20)
 507 grid <- expand.grid(x=x,y=y)
 508 grid$z <- to.kcal(as.vector(20^(outer(x,y))))
 509 print(wireframe(z~x*y,grid,cuts=50,
 510           drape=TRUE,
 511           scales=list(arrows=FALSE),
 512           xlab=list("Average Vesicle Charge",rot=30),
 513           ylab=list("Component Charge",rot=-35),
 514           zlab=list("Charge Backwards (kcal/mol)",rot=93)))
 515 rm(x,y,grid)
 516 @
 517
 518 \newpage
 519 \subsubsection{Curvature Backwards}
 520
 521 The less a monomer's intrinsic curvature matches the average curvature
 522 of the vesicle in which it is in, the greater its rate of efflux. If
 523 the difference is 0, $cu_f$ needs to be one. To map negative and
 524 positive curvature to the same range, we also need take the logarithm.
 525 Increasing mismatches in curvature increase the rate of efflux, but
 526 asymptotically. \textcolor{red}{It is this property which the
 527   unsaturation backwards equation does \emph{not} satisfy, which I
 528   think it should.} An equation which satisfies this critera has the
 529 form $cu_f = a^{1-\left(b\left( \left< \log cu_\mathrm{vesicle} \right>
 530       -\log cu_\mathrm{monomer}\right)^2+1\right)^{-1}}$. An
 531 alternative form would use the aboslute value of the difference,
 532 however, this yields a cusp and sharp increase about the curvature
 533 equilibrium, which is decidedly non-elegant. We have chosen bases of
 534 $a=7$ and $b=20$.
 535
 536 \begin{equation}
 537   cu_b = 7^{1-\left(20\left(\left< \log cu_\mathrm{vesicle} \right> -\log cu_\mathrm{monomer} \right)^2+1\right)^{-1}}
 538   \label{eq:curvature_backwards}
 539 \end{equation}
 540
 541 The most common $\left<\log cu_\mathrm{ves}\right>$ is around $-0.013$, which leads to
 542 a range of $\Delta \Delta G^\ddagger$ from
 543 $\Sexpr{format(digits=3,to.kcal(7^(1-1/(20*(-0.013-log(0.8))^2+1))))}
 544 \frac{\mathrm{kcal}}{\mathrm{mol}}$ for monomers with curvature 0.8
 545 to
 546 $\Sexpr{format(digits=3,to.kcal(7^(1-1/(20*(-0.013-log(1.3))^2+1))))}\frac{\mathrm{kcal}}{\mathrm{mol}}$
 547 for monomers with curvature 1.3 to $0\frac{\mathrm{kcal}}{\mathrm{mol}}$ for monomers with curvature near 1.
 548
 549
 550 <<fig=TRUE,echo=FALSE,results=hide,width=7,height=7>>=
 551 grid <- expand.grid(x=seq(0.8,1.33,length.out=20),
 552                     y=seq(0.8,1.33,length.out=20))
 553 grid$z <- 7^(1-1/(20*(log(grid$x)-log(grid$y))^2+1))
 554 print(wireframe(z~x*y,grid,cuts=50,
 555           drape=TRUE,
 556           scales=list(arrows=FALSE),
 557           xlab=list("Vesicle Curvature",rot=30),
 558           ylab=list("Monomer Curvature",rot=-35),
 559           zlab=list("Curvature Backward",rot=93)))
 560 rm(grid)
 561 @
 562 <<fig=TRUE,echo=FALSE,results=hide,width=7,height=7>>=
 563 grid <- expand.grid(x=seq(0.8,1.33,length.out=20),
 564                     y=seq(0.8,1.33,length.out=20))
 565 grid$z <- to.kcal(7^(1-1/(20*(log(grid$x)-log(grid$y))^2+1)))
 566 print(wireframe(z~x*y,grid,cuts=50,
 567           drape=TRUE,
 568           scales=list(arrows=FALSE),
 569           xlab=list("Vesicle Curvature",rot=30),
 570           ylab=list("Monomer Curvature",rot=-35),
 571           zlab=list("Curvature Backward (kcal/mol)",rot=93)))
 572 rm(grid)
 573 @
 574
 575 \newpage
 576 \subsubsection{Length Backwards}
 577
 578 In a model membrane, the dissociation constant increases by a factor
 579 of approximately 3.2 per carbon decrease in acyl chain length (Nichols
 580 1985). Unfortunatly, the experimental data known to us only measures
 581 chain length less than or equal to the bulk lipid, and does not exceed
 582 it, and is only known for one bulk lipid species (DOPC). We assume
 583 then, that the increase is in relationship to the average vesicle, and
 584 that lipids with larger acyl chain length will also show an increase
 585 in their dissociation constant.
 586
 587 \begin{equation}
 588   l_b = 3.2^{\left|\left<l_\mathrm{ves}\right>-l_\mathrm{monomer}\right|}
 589   \label{eq:length_backward}
 590 \end{equation}
 591
 592 The most common $\left<\log l_\mathrm{ves}\right>$ is around $17.75$, which leads to
 593 a range of $\Delta \Delta G^\ddagger$ from
 594 $\Sexpr{format(digits=3,to.kcal(3.2^abs(12-17.75)))}
 595 \frac{\mathrm{kcal}}{\mathrm{mol}}$ for monomers with length 12
 596 to
 597 $\Sexpr{format(digits=3,to.kcal(3.2^abs(24-17.75)))}\frac{\mathrm{kcal}}{\mathrm{mol}}$
 598 for monomers with length 24 to $0\frac{\mathrm{kcal}}{\mathrm{mol}}$ for monomers with curvature near 18.
 599
 600
 601 <<fig=TRUE,echo=FALSE,results=hide,width=7,height=7>>=
 602 grid <- expand.grid(x=seq(12,24,length.out=20),
 603                     y=seq(12,24,length.out=20))
 604 grid$z <- 3.2^(abs(grid$x-grid$y))
 605 print(wireframe(z~x*y,grid,cuts=50,
 606           drape=TRUE,
 607           scales=list(arrows=FALSE),
 608           xlab=list("Average Vesicle Length",rot=30),
 609           ylab=list("Monomer Length",rot=-35),
 610           zlab=list("Length Backward",rot=93)))
 611 rm(grid)
 612 @
 613 <<fig=TRUE,echo=FALSE,results=hide,width=7,height=7>>=
 614 grid <- expand.grid(x=seq(12,24,length.out=20),
 615                     y=seq(12,24,length.out=20))
 616 grid$z <- to.kcal(3.2^(abs(grid$x-grid$y)))
 617 print(wireframe(z~x*y,grid,cuts=50,
 618           drape=TRUE,
 619           scales=list(arrows=FALSE),
 620           xlab=list("Average Vesicle Length",rot=30),
 621           ylab=list("Monomer Length",rot=-35),
 622           zlab=list("Length Backward (kcal/mol)",rot=93)))
 623 rm(grid)
 624 @
 625
 626
 627 \newpage
 628 \subsubsection{Complex Formation Backward}
 629
 630
 631
 632 \begin{equation}
 633   CF1_b=1.5^{\left<CF1_\mathrm{ves}\right> CF1_\mathrm{monomer}-\left|\left<CF1_\mathrm{ves}\right> CF1_\mathrm{monomer}\right|}
 634   \label{eq:complex_formation_backward}
 635 \end{equation}
 636
 637 The most common $\left<CF1_\mathrm{ves}\right>$ is around $0.925$, which leads to
 638 a range of $\Delta \Delta G^\ddagger$ from
 639 $\Sexpr{format(digits=3,to.kcal(1.5^(0.925*-1-abs(0.925*-1))))}
 640 \frac{\mathrm{kcal}}{\mathrm{mol}}$ for monomers with complex formation $-1$
 641 to
 642 $\Sexpr{format(digits=3,to.kcal(1.5^(0.925*2-abs(0.925*2))))}\frac{\mathrm{kcal}}{\mathrm{mol}}$
 643 for monomers with length $2$ to $0\frac{\mathrm{kcal}}{\mathrm{mol}}$ for monomers with complex formation $0$.
 644
 645
 646 <<fig=TRUE,echo=FALSE,results=hide,width=7,height=7>>=
 647 grid <- expand.grid(x=seq(-1,3,length.out=20),
 648                     y=seq(-1,3,length.out=20))
 649 grid$z <- 1.5^(grid$x*grid$y-abs(grid$x*grid$y))
 650 print(wireframe(z~x*y,grid,cuts=50,
 651           drape=TRUE,
 652           scales=list(arrows=FALSE),
 653           xlab=list("Vesicle Complex Formation",rot=30),
 654           ylab=list("Monomer Complex Formation",rot=-35),
 655           zlab=list("Complex Formation Backward",rot=93)))
 656 rm(grid)
 657 @
 658 <<fig=TRUE,echo=FALSE,results=hide,width=7,height=7>>=
 659 grid <- expand.grid(x=seq(-1,3,length.out=20),
 660                     y=seq(-1,3,length.out=20))
 661 grid$z <- to.kcal(1.5^(grid$x*grid$y-abs(grid$x*grid$y)))
 662 print(wireframe(z~x*y,grid,cuts=50,
 663           drape=TRUE,
 664           scales=list(arrows=FALSE),
 665           xlab=list("Vesicle Complex Formation",rot=30),
 666           ylab=list("Monomer Complex Formation",rot=-35),
 667           zlab=list("Complex Formation Backward (kcal/mol)",rot=93)))
 668 rm(grid)
 669 @
 670
 671
 672
 673
 674
 675 % \bibliographystyle{plainnat}
 676 % \bibliography{references.bib}
 677
 678
 679 \end{document}