kinetic_formalism.Rnw

   1 \documentclass[english,12pt]{article}
   2 \usepackage{fancyhdr}
   3 %\usepackage[pdftex]{graphicx}
   4 \usepackage{graphicx}
   5 \usepackage[bf]{caption2}
   6 \usepackage{rotating}
   7 \usepackage{multirow}
   8 \usepackage{textcomp}
   9 \usepackage{mathrsfs}
  10 \usepackage{amssymb}
  11 \usepackage{setspace}
  12 \usepackage{txfonts}
  13 \usepackage[light,all]{draftcopy}
  14 \usepackage{fancyref}
  15 \usepackage[hyperfigures,backref,bookmarks,colorlinks]{hyperref}
  16 \usepackage[sectionbib,sort&compress,square,numbers]{natbib}
  17 \usepackage[margin,inline,draft]{fixme}
  18 \usepackage[x11names,svgnames]{xcolor}
  19 \usepackage{texshade}
  20 \newenvironment{narrow}[2]{%
  21   \begin{list}{}{%
  22       \setlength{\topsep}{0pt}%
  23       \setlength{\leftmargin}{#1}%
  24       \setlength{\rightmargin}{#2}%
  25       \setlength{\listparindent}{\parindent}%
  26       \setlength{\itemindent}{\parindent}%
  27       \setlength{\parsep}{\parskip}}%
  28   \item[]}{\end{list}}
  29 \newenvironment{paperquote}{%
  30   \begin{quote}%
  31      \it
  32   }%
  33   {\end{quote}}
  34 \renewcommand{\textfraction}{0.15}
  35 \renewcommand{\topfraction}{0.85}
  36 \renewcommand{\bottomfraction}{0.65}
  37 \renewcommand{\floatpagefraction}{0.60}
  38 %\renewcommand{\baselinestretch}{1.8}
  39 \newenvironment{enumerate*}%
  40   {\begin{enumerate}%
  41     \setlength{\itemsep}{0pt}%
  42     \setlength{\parskip}{0pt}}%
  43   {\end{enumerate}}
  44 \newenvironment{itemize*}%
  45   {\begin{itemize}%
  46     \setlength{\itemsep}{0pt}%
  47     \setlength{\parskip}{0pt}}%
  48   {\end{itemize}}
  49 \oddsidemargin 0.0in
  50 \textwidth 6.5in
  51 \raggedbottom
  52 \clubpenalty = 10000
  53 \widowpenalty = 10000
  54 \pagestyle{fancy}
  55 \author{Don Armstrong}
  56 \title{OOL Kinetic Formalisms}
  57 %\date{}
  58 \onehalfspacing
  59 \begin{document}
  60 %\maketitle
  61
  62 <<results=hide,echo=FALSE>>=
  63 require(lattice)
  64 require(grid)
  65 # R in cal / mol K
  66 to.kcal <- function(k,temp=300) {
  67   gasconst <- 1.985
  68   return(-gasconst*temp*log(k)/1000)
  69 }
  70 @
  71
  72 \section{State Equation}
  73 % double check this with the bits in the paper
  74
  75 Given a base forward kinetic parameter for the $i$th specie $k_{fi}$
  76 (which is dependent on lipid type, that is PC, PE, PS, etc.), an
  77 adjustment parameter $k_{fi\mathrm{adj}}$ based on the vesicle and the
  78 specific specie (length, unsaturation, etc.) (see~\fref{eq:kf_adj}),
  79 the molar concentration of monomer of the $i$th specie
  80 $\left[C_{i_\mathrm{monomer}}\right]$, the surface area of the vesicle
  81 $S_\mathrm{ves}$, the base backwards kinetic parameter for the $i$th
  82 specie $k_{bi}$ which is also dependent on lipid type, its adjustment
  83 parameter $k_{bi\mathrm{adj}}$ (see~\fref{eq:kb_adj}), and the molar
  84 concentration of the $i$th specie in the vesicle $C_{i_\mathrm{ves}}$,
  85 the change in concentration of the $i$th specie in the vesicle per
  86 change in time $\frac{d C_{i_\mathrm{ves}}}{dt}$ can be calculated:
  87
  88 \begin{equation}
  89   \frac{d C_{i_\mathrm{ves}}}{dt} = k_{fi}k_{fi\mathrm{adj}}\left[C_{i_\mathrm{monomer}}\right]S_\mathrm{ves} -
  90   k_{bi}k_{bi\mathrm{adj}}C_{i_\mathrm{ves}}
  91   \label{eq:state}
  92 \end{equation}
  93
  94 For $k_{fi}k_{fi\mathrm{adj}}\left[C_{i_\mathrm{monomer}}\right]$,
  95 $k_{fi}$ has units of $\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}$,
  96 $k_{fi\mathrm{adj}}$ and $k_{bi\mathrm{adj}}$ are unitless,
  97 concentration is in units of $\frac{\mathrm{n}}{\mathrm{L}}$, surface
  98 area is in units of $\mathrm{m}^2$, $k_{bi}$ has units of
  99 $\frac{1}{\mathrm{s}}$ and $C_{i_\mathrm{ves}}$ has units of
 100 $\mathrm{n}$, Thus, we have
 101
 102 \begin{equation}
 103   \frac{\mathrm{n}}{\mathrm{s}} = \frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}} \frac{\mathrm{n}}{\mathrm{L}} \mathrm{m}^2 \frac{1000\mathrm{L}}{\mathrm{m}^3} -
 104   \frac{1}{\mathrm{s}} \mathrm{n}
 105   =
 106   \frac{\mathrm{m^3}}{\mathrm{s}} \frac{\mathrm{n}}{\mathrm{L}} \frac{1000\mathrm{L}}{\mathrm{m}^3} - \frac{\mathrm{n}}{\mathrm{s}}=
 107   \frac{\mathrm{n}}{\mathrm{s}} = 1000 \frac{\mathrm{n}}{\mathrm{s}} - \frac{\mathrm{n}}{\mathrm{s}}
 108   \label{eq:state_units}
 109 \end{equation}
 110
 111 The 1000 isn't in \fref{eq:state} above, because it is unit-dependent.
 112
 113 \subsection{Forward adjustments ($k_{fi\mathrm{adj}}$)}
 114
 115 The forward rate constant adjustment, $k_{fi\mathrm{adj}}$ takes into
 116 account unsaturation ($un_f$), charge ($ch_f$), curvature ($cu_f$),
 117 length ($l_f$), and complex formation ($CF1_f$), each of which are
 118 modified depending on the specific specie and the vesicle into which
 119 the specie is entering.
 120
 121 \begin{equation}
 122   k_{fi\mathrm{adj}} = un_f \cdot ch_f \cdot cu_f \cdot l_f \cdot CF1_f
 123   \label{eq:kf_adj}
 124 \end{equation}
 125
 126 \newpage
 127 \subsubsection{Unsaturation Forward}
 128
 129 In order for a lipid to be inserted into a membrane, a void has to be
 130 formed for it to fill. Voids can be generated by the combination of
 131 unsaturated and saturated lipids forming herterogeneous domains. Void
 132 formation is increased when the unsaturation of lipids in the vesicle
 133 is widely distributed; in other words, the insertion of lipids into
 134 the membrane is greater when the standard deviation of the
 135 unsaturation is larger. Assuming that an increase in width of the
 136 distribution linearly decreases the free energy of activation, the
 137 $un_f$ parameter must follow
 138 $a^{\mathrm{stdev}\left(un_\mathrm{ves}\right)}$ where $a > 1$, so a
 139 convenient starting base for $a$ is $2$:
 140
 141 \begin{equation}
 142   un_f = 2^{\mathrm{stdev}\left(un_\mathrm{ves}\right)}
 143   \label{eq:unsaturation_forward}
 144 \end{equation}
 145
 146 The most common $\mathrm{stdev}\left(un_\mathrm{ves}\right)$ is around
 147 $1.5$, which leads to a $\Delta \Delta G^\ddagger$ of
 148 $\Sexpr{format(digits=3,to.kcal(2^1.5))}
 149 \frac{\mathrm{kcal}}{\mathrm{mol}}$.
 150
 151 \setkeys{Gin}{width=3.2in}
 152 <<fig=TRUE,echo=FALSE,results=hide,width=5,height=5>>=
 153 curve(2^x,from=0,to=sd(c(0,4)),
 154       main="Unsaturation Forward",
 155       xlab="Standard Deviation of Unsaturation of Vesicle",
 156       ylab="Unsaturation Forward Adjustment")
 157 @
 158 <<fig=TRUE,echo=FALSE,results=hide,width=5,height=5>>=
 159 curve(to.kcal(2^x),from=0,to=sd(c(0,4)),
 160       main="Unsaturation forward",
 161       xlab="Standard Deviation of Unsaturation of Vesicle",
 162       ylab="Unsaturation Forward (kcal/mol)")
 163 @
 164
 165
 166 \newpage
 167 \subsubsection{Charge Forward}
 168
 169 A charged lipid such as PS approaching a vesicle with an average
 170 charge of the same sign will experience repulsion, whereas those with
 171 different signs will experience attraction, the degree of which is
 172 dependent upon the charge of the monomer and the average charge of the
 173 vesicle. If either the vesicle or the monomer has no charge, there
 174 should be no effect of charge upon the rate. This leads us to the
 175 following equation, $a^{-\left<ch_v\right> ch_m}$, where
 176 $\left<ch_v\right>$ is the average charge of the vesicle, and $ch_m$
 177 is the charge of the monomer. If either $\left<ch_v\right>$ or $ch_m$
 178 is 0, the adjustment parameter is 1 (no change), whereas it decreases
 179 if both are positive or negative, as the product of two real numbers
 180 with the same sign is always positive. A convenient base for $a$ is
 181 60, resulting in the following equation:
 182
 183
 184 \begin{equation}
 185   ch_f = 60^{-\left<{ch}_v\right> {ch}_m}
 186   \label{eq:charge_forward}
 187 \end{equation}
 188
 189 The most common $\left<{ch}_v\right>$ is around $-0.165$, which leads to
 190 a range of $\Delta \Delta G^\ddagger$ from
 191 $\Sexpr{format(digits=3,to.kcal(60^(-.165*-1)))}
 192 \frac{\mathrm{kcal}}{\mathrm{mol}}$ to $0\frac{\mathrm{kcal}}{\mathrm{mol}}$.
 193
 194 <<fig=TRUE,echo=FALSE,results=hide,width=7,height=7>>=
 195 x <- seq(-1,0,length.out=20)
 196 y <- seq(-1,0,length.out=20)
 197 grid <- expand.grid(x=x,y=y)
 198 grid$z <- as.vector(60^(-outer(x,y)))
 199 print(wireframe(z~x*y,grid,cuts=50,
 200                 drape=TRUE,
 201                 scales=list(arrows=FALSE),
 202                 main="Charge Forward",
 203                 xlab=list("Average Vesicle Charge",rot=30),
 204                 ylab=list("Component Charge",rot=-35),
 205                 zlab=list("Charge Forward",rot=93)))
 206 rm(x,y,grid)
 207 @
 208 <<fig=TRUE,echo=FALSE,results=hide,width=7,height=7>>=
 209 x <- seq(-1,0,length.out=20)
 210 y <- seq(-1,0,length.out=20)
 211 grid <- expand.grid(x=x,y=y)
 212 grid$z <- as.vector(to.kcal(60^(-outer(x,y))))
 213 print(wireframe(z~x*y,grid,cuts=50,
 214                 drape=TRUE,
 215                 scales=list(arrows=FALSE),
 216                 main="Charge Forward (kcal/mol)",
 217                 xlab=list("Average Vesicle Charge",rot=30),
 218                 ylab=list("Component Charge",rot=-35),
 219                 zlab=list("Charge Forward (kcal/mol)",rot=93)))
 220 rm(x,y,grid)
 221 @
 222
 223
 224 \newpage
 225 \subsubsection{Curvature Forward}
 226
 227 Curvature is a measure of the intrinsic propensity of specific lipids
 228 to form micelles (positive curvature), inverted micelles (negative
 229 curvature), or planar sheets (zero curvature). In this formalism,
 230 curvature is measured as the ratio of the size of the head to that of
 231 the base, so negative curvature is bounded by $(0,1)$, zero curvature
 232 is 1, and positive curvature is bounded by $(1,\infty)$. The curvature
 233 can be transformed into the typical postive/negative mapping using
 234 $\log$, which has the additional property of making the range of
 235 positive and negative curvature equal, and distributed about 0.
 236
 237 As in the case of unsaturation, void formation is increased by the
 238 presence of lipids with mismatched curvature. Thus, a larger
 239 distribution of curvature in the vesicle increases the rate of lipid
 240 insertion into the vesicle. However, a species with curvature $e^{-1}$
 241 will cancel out a species with curvature $e$, so we have to log
 242 transform (turning these into -1 and 1), then take the absolute value
 243 (1 and 1), and finally measure the width of the distribution. Thus, by
 244 using the log transform to make the range of the lipid curvature equal
 245 between positive and negative, and taking the average to cancel out
 246 exactly mismatched curvatures, we come to an equation with the shape
 247 $a^{\left<\log cu_\mathrm{vesicle}\right>}$. A convenient base for $a$
 248 is $10$, yielding:
 249
 250
 251 \begin{equation}
 252  % cu_f = 10^{\mathrm{stdev}\left|\log cu_\mathrm{vesicle}\right|}
 253   cu_f = 10^{\left|\left<\log cu_\mathrm{vesicle} \right>\right|\mathrm{stdev} \left|\log cu_\mathrm{vesicle}\right|}
 254   \label{eq:curvature_forward}
 255 \end{equation}
 256
 257 The most common $\left|\left<\log {cu}_v\right>\right|$ is around $0.013$, which
 258 with the most common $\mathrm{stdev} \log cu_\mathrm{vesicle}$ of
 259 $0.213$ leads to a $\Delta \Delta G^\ddagger$ of
 260 $\Sexpr{format(digits=3,to.kcal(10^(0.13*0.213)))}
 261 \frac{\mathrm{kcal}}{\mathrm{mol}}$
 262
 263 % 1.5 to 0.75 3 to 0.33
 264 <<fig=TRUE,echo=FALSE,results=hide,width=7,height=7>>=
 265 grid <- expand.grid(x=seq(0,max(c(sd(abs(log(c(1,3)))),
 266                       sd(abs(log(c(1,0.33)))),sd(abs(log(c(0.33,3)))))),length.out=20),
 267                     y=seq(0,max(c(mean(log(c(1,3)),
 268                       mean(log(c(1,0.33))),
 269                       mean(log(c(0.33,3)))))),length.out=20))
 270 grid$z <- 10^(grid$x*grid$y)
 271 print(wireframe(z~x*y,grid,cuts=50,
 272           drape=TRUE,
 273           scales=list(arrows=FALSE),
 274           xlab=list("Vesicle stdev log curvature",rot=30),
 275           ylab=list("Vesicle average log curvature",rot=-35),
 276           zlab=list("Vesicle Curvature Forward",rot=93)))
 277 rm(grid)
 278 @
 279 <<fig=TRUE,echo=FALSE,results=hide,width=7,height=7>>=
 280 grid <- expand.grid(x=seq(0,max(c(sd(abs(log(c(1,3)))),
 281                       sd(abs(log(c(1,0.33)))),sd(abs(log(c(0.33,3)))))),length.out=20),
 282                     y=seq(0,max(c(mean(log(c(1,3)),
 283                       mean(log(c(1,0.33))),
 284                       mean(log(c(0.33,3)))))),length.out=20))
 285 grid$z <- to.kcal(10^(grid$x*grid$y))
 286 print(wireframe(z~x*y,grid,cuts=50,
 287           drape=TRUE,
 288           scales=list(arrows=FALSE),
 289           xlab=list("Vesicle stdev log curvature",rot=30),
 290           ylab=list("Vesicle average log curvature",rot=-35),
 291           zlab=list("Vesicle Curvature Forward (kcal/mol)",rot=93)))
 292 rm(grid)
 293 @
 294
 295 \newpage
 296 \subsubsection{Length Forward}
 297
 298 As in the case of unsaturation, void formation is easier when vesicles
 299 are made up of components of widely different lengths. Thus, when the
 300 width of the distribution of lengths is larger, the forward rate
 301 should be greater as well, leading us to an equation of the form
 302 $x^{\mathrm{stdev} l_\mathrm{ves}}$, where $\mathrm{stdev}
 303 l_\mathrm{ves}$ is the standard deviation of the length of the
 304 components of the vesicle, which has a maximum possible value of 8 and
 305 a minimum of 0 in this set of experiments. A convenient base for $x$
 306 is 2, leading to:
 307
 308 \begin{equation}
 309   l_f = 2^{\mathrm{stdev} l_\mathrm{ves}}
 310   \label{eq:length_forward}
 311 \end{equation}
 312
 313 <<fig=TRUE,echo=FALSE,results=hide,width=7,height=5>>=
 314 curve(2^x,from=0,to=sd(c(12,24)),
 315       main="Length forward",
 316       xlab="Standard Deviation of Length of Vesicle",
 317       ylab="Length Forward Adjustment")
 318 @
 319 <<fig=TRUE,echo=FALSE,results=hide,width=7,height=5>>=
 320 curve(to.kcal(2^x),from=0,to=sd(c(12,24)),
 321       main="Length forward",
 322       xlab="Standard Deviation of Length of Vesicle",
 323       ylab="Length Forward Adjustment (kcal/mol)")
 324 @
 325
 326
 327 \subsubsection{Complex Formation}
 328 There is no contribution of complex formation to the forward reaction
 329 rate in the current formalism.
 330
 331 \begin{equation}
 332   CF1_f=1
 333   \label{eq:complex_formation_forward}
 334 \end{equation}
 335
 336 \subsection{Backward adjustments ($k_{bi\mathrm{adj}}$)}
 337
 338 Just as the forward rate constant adjustment $k_{fi\mathrm{adj}}$
 339 does, the backwards rate constant adjustment $k_{bi\mathrm{adj}}$
 340 takes into account unsaturation ($un_b$), charge ($ch_b$), curvature
 341 ($cu_b$), length ($l_b$), and complex formation ($CF1_b$), each of
 342 which are modified depending on the specific specie and the vesicle
 343 into which the specie is entering:
 344
 345
 346 \begin{equation}
 347   k_{bi\mathrm{adj}} = un_b \cdot ch_b \cdot cu_b \cdot l_b \cdot CF1_b
 348   \label{eq:kb_adj}
 349 \end{equation}
 350
 351 \subsubsection{Unsaturation Backward}
 352
 353 Unsaturation also influences the ability of a lipid molecule to leave
 354 a membrane. If a molecule has an unsaturation level which is different
 355 from the surrounding membrane, it will be more likely to leave the
 356 membrane. The more different the unsaturation level is, the greater
 357 the propensity for the lipid molecule to leave. However, a vesicle
 358 with some unsaturation is more favorable for lipids with more
 359 unsaturation than the equivalent amount of less unsatuturation, so the
 360 difference in energy between unsaturation is not linear. Therefore, an
 361 equation with the shape
 362 $x^{\left|y^{-\left<un_\mathrm{ves}\right>}-y^{-un_\mathrm{monomer}}\right|}$
 363 where $\left<un_\mathrm{ves}\right>$ is the average unsaturation of
 364 the vesicle, and $un_\mathrm{monomer}$ is the average unsaturation. In
 365 this equation, as the average unsaturation of the vesicle is larger,
 366
 367 \textcolor{red}{I don't like this equation; the explanation above
 368   seems really contrived. Need to discuss.}
 369
 370 \begin{equation}
 371   un_b = 10^{\left|3.5^{-\left<un_\mathrm{ves}\right>}-3.5^{-un_\mathrm{monomer}}\right|}
 372   \label{eq:unsaturation_backward}
 373 \end{equation}
 374
 375 <<fig=TRUE,echo=FALSE,results=hide,width=7,height=7>>=
 376 grid <- expand.grid(x=seq(0,4,length.out=20),
 377                     y=seq(0,4,length.out=20))
 378 grid$z <- 10^(abs(3.5^-grid$x-3.5^-grid$y))
 379 print(wireframe(z~x*y,grid,cuts=50,
 380           drape=TRUE,
 381           scales=list(arrows=FALSE),
 382           xlab=list("Average Vesicle Unsaturation",rot=30),
 383           ylab=list("Monomer Unsaturation",rot=-35),
 384           zlab=list("Unsaturation Backward",rot=93)))
 385 rm(grid)
 386 @
 387 <<fig=TRUE,echo=FALSE,results=hide,width=7,height=7>>=
 388 grid <- expand.grid(x=seq(0,4,length.out=20),
 389                     y=seq(0,4,length.out=20))
 390 grid$z <- to.kcal(10^(abs(3.5^-grid$x-3.5^-grid$y)))
 391 print(wireframe(z~x*y,grid,cuts=50,
 392           drape=TRUE,
 393           scales=list(arrows=FALSE),
 394           xlab=list("Average Vesicle Unsaturation",rot=30),
 395           ylab=list("Monomer Unsaturation",rot=-35),
 396           zlab=list("Unsaturation Backward (kcal/mol)",rot=93)))
 397 rm(grid)
 398 @
 399
 400
 401 \newpage
 402 \subsubsection{Charge Backwards}
 403 As in the case of monomers entering a vesicle, monomers leaving a
 404 vesicle leave faster if their charge has the same sign as the average
 405 charge vesicle. An equation of the form $ch_b = x^{\left<ch_v\right>
 406   ch_m}$ is then appropriate, and using a base of 20 for $x$ yields:
 407
 408 \begin{equation}
 409   ch_b = 20^{\left<{ch}_v\right> {ch}_m}
 410   \label{eq:charge_backwards}
 411 \end{equation}
 412
 413 <<fig=TRUE,echo=FALSE,results=hide,width=7,height=7>>=
 414 x <- seq(-1,0,length.out=20)
 415 y <- seq(-1,0,length.out=20)
 416 grid <- expand.grid(x=x,y=y)
 417 grid$z <- as.vector(20^(outer(x,y)))
 418 print(wireframe(z~x*y,grid,cuts=50,
 419           drape=TRUE,
 420           scales=list(arrows=FALSE),
 421           xlab=list("Average Vesicle Charge",rot=30),
 422           ylab=list("Component Charge",rot=-35),
 423           zlab=list("Charge Backwards",rot=93)))
 424 rm(x,y,grid)
 425 @
 426 <<fig=TRUE,echo=FALSE,results=hide,width=7,height=7>>=
 427 x <- seq(-1,0,length.out=20)
 428 y <- seq(-1,0,length.out=20)
 429 grid <- expand.grid(x=x,y=y)
 430 grid$z <- to.kcal(as.vector(20^(outer(x,y))))
 431 print(wireframe(z~x*y,grid,cuts=50,
 432           drape=TRUE,
 433           scales=list(arrows=FALSE),
 434           xlab=list("Average Vesicle Charge",rot=30),
 435           ylab=list("Component Charge",rot=-35),
 436           zlab=list("Charge Backwards (kcal/mol)",rot=93)))
 437 rm(x,y,grid)
 438 @
 439
 440 \newpage
 441 \subsubsection{Curvature Backwards}
 442
 443 The less a monomer's intrinsic curvature matches the average curvature
 444 of the vesicle in which it is in, the greater its rate of efflux. If
 445 the difference is 0, $cu_f$ needs to be one. To map negative and
 446 positive curvature to the same range, we also need take the logarithm.
 447 Increasing mismatches in curvature increase the rate of efflux, but
 448 asymptotically. \textcolor{red}{It is this property which the
 449   unsaturation backwards equation does \emph{not} satisfy, which I
 450   think it should.} An equation which satisfies this critera has the
 451 form $cu_f = a^{1-\left(b\left(\left<\log cu_\mathrm{vesicle} \right>
 452       -\log cu_\mathrm{monomer}\right)^2+1\right)^{-1}}$. An
 453 alternative form would use the aboslute value of the difference,
 454 however, this yields a cusp and sharp increase about the curvature
 455 equilibrium, which is decidedly non-elegant. We have chosen bases of
 456 $a=7$ and $b=20$.
 457
 458 \begin{equation}
 459   cu_f = 7^{1-\left(20\left(\left<\log cu_\mathrm{vesicle} \right> -\log cu_\mathrm{monomer}\right)^2+1\right)^{-1}}
 460   \label{eq:curvature_backwards}
 461 \end{equation}
 462
 463 <<fig=TRUE,echo=FALSE,results=hide,width=7,height=7>>=
 464 grid <- expand.grid(x=seq(0.8,1.33,length.out=20),
 465                     y=seq(0.8,1.33,length.out=20))
 466 grid$z <- 7^(1-1/(20*(log(grid$x)-log(grid$y))^2+1))
 467 print(wireframe(z~x*y,grid,cuts=50,
 468           drape=TRUE,
 469           scales=list(arrows=FALSE),
 470           xlab=list("Vesicle Curvature",rot=30),
 471           ylab=list("Monomer Curvature",rot=-35),
 472           zlab=list("Curvature Backward",rot=93)))
 473 rm(grid)
 474 @
 475 <<fig=TRUE,echo=FALSE,results=hide,width=7,height=7>>=
 476 grid <- expand.grid(x=seq(0.8,1.33,length.out=20),
 477                     y=seq(0.8,1.33,length.out=20))
 478 grid$z <- to.kcal(7^(1-1/(20*(log(grid$x)-log(grid$y))^2+1)))
 479 print(wireframe(z~x*y,grid,cuts=50,
 480           drape=TRUE,
 481           scales=list(arrows=FALSE),
 482           xlab=list("Vesicle Curvature",rot=30),
 483           ylab=list("Monomer Curvature",rot=-35),
 484           zlab=list("Curvature Backward (kcal/mol)",rot=93)))
 485 rm(grid)
 486 @
 487
 488
 489 \newpage
 490 \subsubsection{Length Backwards}
 491
 492 In a model membrane, the dissociation constant decreases by a factor
 493 of approximately 3.2 per carbon increase in acyl chain length (Nichols
 494 1985). Unfortunatly, the known experimental data only measures chain
 495 length less than or equal to the bulk lipid, and does not exceed it,
 496 and is only known for one bulk lipid species (DOPC).
 497
 498
 499 The dissociation constant decreases by approximately 3.2 per carbon
 500 increase in acyl chain length (Nichols 1985). We assume that this
 501 decrease is in relationship to the average vesicle length.
 502
 503 \begin{equation}
 504   l_b = 3.2^{\left|\left<l_\mathrm{ves}\right>-l_\mathrm{monomer}\right|}
 505   \label{eq:length_backward}
 506 \end{equation}
 507
 508 <<fig=TRUE,echo=FALSE,results=hide,width=7,height=7>>=
 509 grid <- expand.grid(x=seq(12,24,length.out=20),
 510                     y=seq(12,24,length.out=20))
 511 grid$z <- 3.2^(abs(grid$x-grid$y))
 512 print(wireframe(z~x*y,grid,cuts=50,
 513           drape=TRUE,
 514           scales=list(arrows=FALSE),
 515           xlab=list("Average Vesicle Length",rot=30),
 516           ylab=list("Monomer Length",rot=-35),
 517           zlab=list("Length Backward",rot=93)))
 518 rm(grid)
 519 @
 520 <<fig=TRUE,echo=FALSE,results=hide,width=7,height=7>>=
 521 grid <- expand.grid(x=seq(12,24,length.out=20),
 522                     y=seq(12,24,length.out=20))
 523 grid$z <- to.kcal(3.2^(abs(grid$x-grid$y)))
 524 print(wireframe(z~x*y,grid,cuts=50,
 525           drape=TRUE,
 526           scales=list(arrows=FALSE),
 527           xlab=list("Average Vesicle Length",rot=30),
 528           ylab=list("Monomer Length",rot=-35),
 529           zlab=list("Length Backward (kcal/mol)",rot=93)))
 530 rm(grid)
 531 @
 532
 533
 534 \newpage
 535 \subsubsection{Complex Formation Backward}
 536 \begin{equation}
 537   CF1_b=1.5^{\left<CF1_\mathrm{ves}\right> CF1_\mathrm{monomer}-\left|\left<CF1_\mathrm{ves}right> CF1_\mathrm{monomer}\right|}
 538   \label{eq:complex_formation_backward}
 539 \end{equation}
 540
 541 <<fig=TRUE,echo=FALSE,results=hide,width=7,height=7>>=
 542 grid <- expand.grid(x=seq(-1,3,length.out=20),
 543                     y=seq(-1,3,length.out=20))
 544 grid$z <- 3.2^(grid$x*grid$y-abs(grid$x*grid$y))
 545 print(wireframe(z~x*y,grid,cuts=50,
 546           drape=TRUE,
 547           scales=list(arrows=FALSE),
 548           xlab=list("Vesicle Complex Formation",rot=30),
 549           ylab=list("Monomer Complex Formation",rot=-35),
 550           zlab=list("Complex Formation Backward",rot=93)))
 551 rm(grid)
 552 @
 553 <<fig=TRUE,echo=FALSE,results=hide,width=7,height=7>>=
 554 grid <- expand.grid(x=seq(-1,3,length.out=20),
 555                     y=seq(-1,3,length.out=20))
 556 grid$z <- to.kcal(3.2^(grid$x*grid$y-abs(grid$x*grid$y)))
 557 print(wireframe(z~x*y,grid,cuts=50,
 558           drape=TRUE,
 559           scales=list(arrows=FALSE),
 560           xlab=list("Vesicle Complex Formation",rot=30),
 561           ylab=list("Monomer Complex Formation",rot=-35),
 562           zlab=list("Complex Formation Backward (kcal/mol)",rot=93)))
 563 rm(grid)
 564 @
 565
 566
 567
 568
 569
 570 % \bibliographystyle{plainnat}
 571 % \bibliography{references.bib}
 572
 573
 574 \end{document}