kinetic_formalism.Rnw

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  20 \newenvironment{narrow}[2]{%
  21   \begin{list}{}{%
  22       \setlength{\topsep}{0pt}%
  23       \setlength{\leftmargin}{#1}%
  24       \setlength{\rightmargin}{#2}%
  25       \setlength{\listparindent}{\parindent}%
  26       \setlength{\itemindent}{\parindent}%
  27       \setlength{\parsep}{\parskip}}%
  28   \item[]}{\end{list}}
  29 \newenvironment{paperquote}{%
  30   \begin{quote}%
  31      \it
  32   }%
  33   {\end{quote}}
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  39 \newenvironment{enumerate*}%
  40   {\begin{enumerate}%
  41     \setlength{\itemsep}{0pt}%
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  43   {\end{enumerate}}
  44 \newenvironment{itemize*}%
  45   {\begin{itemize}%
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  47     \setlength{\parskip}{0pt}}%
  48   {\end{itemize}}
  49 \oddsidemargin 0.0in
  50 \textwidth 6.5in
  51 \raggedbottom
  52 \clubpenalty = 10000
  53 \widowpenalty = 10000
  54 \pagestyle{fancy}
  55 \author{Don Armstrong}
  56 \title{OOL Kinetic Formalisms}
  57 %\date{}
  58 \onehalfspacing
  59 \begin{document}
  60 %\maketitle
  61
  62 <<results=hide,echo=FALSE>>=
  63 require(lattice)
  64 require(grid)
  65 # R in cal / mol K
  66 to.kcal <- function(k,temp=300) {
  67   gasconst <- 1.985
  68   return(-gasconst*temp*log(k)/1000)
  69 }
  70 @
  71
  72 \section{State Equation}
  73 % double check this with the bits in the paper
  74
  75 Given a base forward kinetic parameter for the $i$th specie $k_{fi}$
  76 (which is dependent on lipid type, that is PC, PE, PS, etc.), an
  77 adjustment parameter $k_{fi\mathrm{adj}}$ based on the vesicle and the
  78 specific specie (length, unsaturation, etc.) (see~\fref{eq:kf_adj}),
  79 the molar concentration of monomer of the $i$th specie
  80 $\left[C_{i_\mathrm{monomer}}\right]$, the surface area of the vesicle
  81 $S_\mathrm{ves}$, the base backwards kinetic parameter for the $i$th
  82 specie $k_{bi}$ which is also dependent on lipid type, its adjustment
  83 parameter $k_{bi\mathrm{adj}}$ (see~\fref{eq:kb_adj}), and the molar
  84 concentration of the $i$th specie in the vesicle $C_{i_\mathrm{ves}}$,
  85 the change in concentration of the $i$th specie in the vesicle per
  86 change in time $\frac{d C_{i_\mathrm{ves}}}{dt}$ can be calculated:
  87
  88 \begin{equation}
  89   \frac{d C_{i_\mathrm{ves}}}{dt} = k_{fi}k_{fi\mathrm{adj}}\left[C_{i_\mathrm{monomer}}\right]S_\mathrm{ves} -
  90   k_{bi}k_{bi\mathrm{adj}}C_{i_\mathrm{ves}}
  91   \label{eq:state}
  92 \end{equation}
  93
  94 For $k_{fi}k_{fi\mathrm{adj}}\left[C_{i_\mathrm{monomer}}\right]$,
  95 $k_{fi}$ has units of $\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}$,
  96 $k_{fi\mathrm{adj}}$ and $k_{bi\mathrm{adj}}$ are unitless,
  97 concentration is in units of $\frac{\mathrm{n}}{\mathrm{L}}$, surface
  98 area is in units of $\mathrm{m}^2$, $k_{bi}$ has units of
  99 $\frac{1}{\mathrm{s}}$ and $C_{i_\mathrm{ves}}$ has units of
 100 $\mathrm{n}$, Thus, we have
 101
 102 \begin{equation}
 103   \frac{\mathrm{n}}{\mathrm{s}} = \frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}} \frac{\mathrm{n}}{\mathrm{L}} \mathrm{m}^2 \frac{1000\mathrm{L}}{\mathrm{m}^3} -
 104   \frac{1}{\mathrm{s}} \mathrm{n}
 105   =
 106   \frac{\mathrm{m^3}}{\mathrm{s}} \frac{\mathrm{n}}{\mathrm{L}} \frac{1000\mathrm{L}}{\mathrm{m}^3} - \frac{\mathrm{n}}{\mathrm{s}}=
 107   \frac{\mathrm{n}}{\mathrm{s}} = 1000 \frac{\mathrm{n}}{\mathrm{s}} - \frac{\mathrm{n}}{\mathrm{s}}
 108   \label{eq:state_units}
 109 \end{equation}
 110
 111 The 1000 isn't in \fref{eq:state} above, because it is unit-dependent.
 112
 113 \subsection{Forward adjustments ($k_{fi\mathrm{adj}}$)}
 114
 115 The forward rate constant adjustment, $k_{fi\mathrm{adj}}$ takes into
 116 account unsaturation ($un_f$), charge ($ch_f$), curvature ($cu_f$),
 117 length ($l_f$), and complex formation ($CF1_f$), each of which are
 118 modified depending on the specific specie and the vesicle into which
 119 the specie is entering.
 120
 121 \begin{equation}
 122   k_{fi\mathrm{adj}} = un_f \cdot ch_f \cdot cu_f \cdot l_f \cdot CF1_f
 123   \label{eq:kf_adj}
 124 \end{equation}
 125
 126 \newpage
 127 \subsubsection{Unsaturation Forward}
 128
 129 In order for a lipid to be inserted into a membrane, a void has to be
 130 formed for it to fill. Voids can be generated by the combination of
 131 unsaturated and saturated lipids forming herterogeneous domains. Void
 132 formation is increased when the unsaturation of lipids in the vesicle
 133 is widely distributed; in other words, the insertion of lipids into
 134 the membrane is greater when the standard deviation of the
 135 unsaturation is larger. Assuming that an increase in width of the
 136 distribution linearly decreases the free energy of activation, the
 137 $un_f$ parameter must follow
 138 $a^{\mathrm{stdev}\left(un_\mathrm{ves}\right)}$ where $a > 1$, so a
 139 convenient starting base for $a$ is $2$:
 140
 141 \begin{equation}
 142   un_f = 2^{\mathrm{stdev}\left(un_\mathrm{ves}\right)}
 143   \label{eq:unsaturation_forward}
 144 \end{equation}
 145
 146 The most common $\mathrm{stdev}\left(un_\mathrm{ves}\right)$ is around
 147 $1.5$, which leads to a $\Delta \Delta G^\ddagger$ of
 148 $\Sexpr{format(digits=3,to.kcal(2^1.5))}
 149 \frac{\mathrm{kcal}}{\mathrm{mol}}$.
 150
 151 \setkeys{Gin}{width=3.2in}
 152 <<fig=TRUE,echo=FALSE,results=hide,width=5,height=5>>=
 153 curve(2^x,from=0,to=sd(c(0,4)),
 154       main="Unsaturation Forward",
 155       xlab="Standard Deviation of Unsaturation of Vesicle",
 156       ylab="Unsaturation Forward Adjustment")
 157 @
 158 <<fig=TRUE,echo=FALSE,results=hide,width=5,height=5>>=
 159 curve(to.kcal(2^x),from=0,to=sd(c(0,4)),
 160       main="Unsaturation forward",
 161       xlab="Standard Deviation of Unsaturation of Vesicle",
 162       ylab="Unsaturation Forward (kcal/mol)")
 163 @
 164
 165
 166 \newpage
 167 \subsubsection{Charge Forward}
 168
 169 A charged lipid such as PS approaching a vesicle with an average
 170 charge of the same sign will experience repulsion, whereas those with
 171 different signs will experience attraction, the degree of which is
 172 dependent upon the charge of the monomer and the average charge of the
 173 vesicle. If either the vesicle or the monomer has no charge, there
 174 should be no effect of charge upon the rate. This leads us to the
 175 following equation, $a^{-\left<ch_v\right> ch_m}$, where
 176 $\left<ch_v\right>$ is the average charge of the vesicle, and $ch_m$
 177 is the charge of the monomer. If either $\left<ch_v\right>$ or $ch_m$
 178 is 0, the adjustment parameter is 1 (no change), whereas it decreases
 179 if both are positive or negative, as the product of two real numbers
 180 with the same sign is always positive. A convenient base for $a$ is
 181 60, resulting in the following equation:
 182
 183
 184 \begin{equation}
 185   ch_f = 60^{-\left<{ch}_v\right> {ch}_m}
 186   \label{eq:charge_forward}
 187 \end{equation}
 188
 189 The most common $\left<{ch}_v\right>$ is around $-0.165$, which leads to
 190 a range of $\Delta \Delta G^\ddagger$ from
 191 $\Sexpr{format(digits=3,to.kcal(60^(-.165*-1)))}
 192 \frac{\mathrm{kcal}}{\mathrm{mol}}$ to $0\frac{\mathrm{kcal}}{\mathrm{mol}}$.
 193
 194 <<fig=TRUE,echo=FALSE,results=hide,width=7,height=7>>=
 195 x <- seq(-1,0,length.out=20)
 196 y <- seq(-1,0,length.out=20)
 197 grid <- expand.grid(x=x,y=y)
 198 grid$z <- as.vector(60^(-outer(x,y)))
 199 print(wireframe(z~x*y,grid,cuts=50,
 200                 drape=TRUE,
 201                 scales=list(arrows=FALSE),
 202                 main="Charge Forward",
 203                 xlab=list("Average Vesicle Charge",rot=30),
 204                 ylab=list("Component Charge",rot=-35),
 205                 zlab=list("Charge Forward",rot=93)))
 206 rm(x,y,grid)
 207 @
 208 <<fig=TRUE,echo=FALSE,results=hide,width=7,height=7>>=
 209 x <- seq(-1,0,length.out=20)
 210 y <- seq(-1,0,length.out=20)
 211 grid <- expand.grid(x=x,y=y)
 212 grid$z <- as.vector(to.kcal(60^(-outer(x,y))))
 213 print(wireframe(z~x*y,grid,cuts=50,
 214                 drape=TRUE,
 215                 scales=list(arrows=FALSE),
 216                 main="Charge Forward (kcal/mol)",
 217                 xlab=list("Average Vesicle Charge",rot=30),
 218                 ylab=list("Component Charge",rot=-35),
 219                 zlab=list("Charge Forward (kcal/mol)",rot=93)))
 220 rm(x,y,grid)
 221 @
 222
 223
 224 \newpage
 225 \subsubsection{Curvature Forward}
 226
 227 Curvature is a measure of the intrinsic propensity of specific lipids
 228 to form micelles (positive curvature), inverted micelles (negative
 229 curvature), or planar sheets (zero curvature). In this formalism,
 230 curvature is measured as the ratio of the size of the head to that of
 231 the base, so negative curvature is bounded by $(0,1)$, zero curvature
 232 is 1, and positive curvature is bounded by $(1,\infty)$. The curvature
 233 can be transformed into the typical postive/negative mapping using
 234 $\log$, which has the additional property of making the range of
 235 positive and negative curvature equal, and distributed about 0.
 236
 237 As in the case of unsaturation, void formation is increased by the
 238 presence of lipids with mismatched curvature. Thus, a larger
 239 distribution of curvature in the vesicle increases the rate of lipid
 240 insertion into the vesicle. However, a species with curvature $e^{-1}$
 241 will cancel out a species with curvature $e$, so we have to log
 242 transform (turning these into -1 and 1), then take the absolute value
 243 (1 and 1), and finally measure the width of the distribution. Thus, by
 244 using the log transform to make the range of the lipid curvature equal
 245 between positive and negative, and taking the average to cancel out
 246 exactly mismatched curvatures, we come to an equation with the shape
 247 $a^{\left<\log cu_\mathrm{vesicle}\right>}$. A convenient base for $a$
 248 is $10$, yielding:
 249
 250
 251 \begin{equation}
 252  % cu_f = 10^{\mathrm{stdev}\left|\log cu_\mathrm{vesicle}\right|}
 253   cu_f = 10^{\left<\log cu_\mathrm{vesicle} \right>}
 254   \label{eq:curvature_forward}
 255 \end{equation}
 256
 257 The most common $\left<\log {cu}_v\right>$ is around $-0.165$, which leads to
 258 a range of $\Delta \Delta G^\ddagger$ from
 259 $\Sexpr{format(digits=3,to.kcal(60^(-.165*-1)))}
 260 \frac{\mathrm{kcal}}{\mathrm{mol}}$ to $0\frac{\mathrm{kcal}}{\mathrm{mol}}$.
 261
 262 % 1.5 to 0.75 3 to 0.33
 263 <<fig=TRUE,echo=FALSE,results=hide,width=7,height=5>>=
 264 curve(10^x,from=0,to=max(abs(c(mean(log(c(0.8,1.33))),
 265                     mean(log(c(1,1.33))),
 266                     mean(log(c(0.8,1)))))),
 267       main="Curvature forward",
 268       xlab="Standard Deviation of Absolute value of the Log of the Curvature of Vesicle",
 269       ylab="Curvature Forward Adjustment")
 270 @
 271 <<fig=TRUE,echo=FALSE,results=hide,width=7,height=5>>=
 272 curve(to.kcal(10^(x^2)),from=0,to=max(abs(c(mean(log(c(0.8,1.33))),
 273                                  mean(log(c(1,1.33))),
 274                                  mean(log(c(0.8,1)))))),
 275       main="Curvature forward",
 276       xlab="Standard Deviation of Absolute value of the Log of the Curvature of Vesicle",
 277       ylab="Curvature Forward Adjustment (kcal/mol)")
 278 @
 279
 280
 281 \newpage
 282 \subsubsection{Length Forward}
 283
 284 As in the case of unsaturation, void formation is easier when vesicles
 285 are made up of components of widely different lengths. Thus, when the
 286 width of the distribution of lengths is larger, the forward rate
 287 should be greater as well, leading us to an equation of the form
 288 $x^{\mathrm{stdev} l_\mathrm{ves}}$, where $\mathrm{stdev}
 289 l_\mathrm{ves}$ is the standard deviation of the length of the
 290 components of the vesicle, which has a maximum possible value of 8 and
 291 a minimum of 0 in this set of experiments. A convenient base for $x$
 292 is 2, leading to:
 293
 294 \begin{equation}
 295   l_f = 2^{\mathrm{stdev} l_\mathrm{ves}}
 296   \label{eq:length_forward}
 297 \end{equation}
 298
 299 <<fig=TRUE,echo=FALSE,results=hide,width=7,height=5>>=
 300 curve(2^x,from=0,to=sd(c(12,24)),
 301       main="Length forward",
 302       xlab="Standard Deviation of Length of Vesicle",
 303       ylab="Length Forward Adjustment")
 304 @
 305 <<fig=TRUE,echo=FALSE,results=hide,width=7,height=5>>=
 306 curve(to.kcal(2^x),from=0,to=sd(c(12,24)),
 307       main="Length forward",
 308       xlab="Standard Deviation of Length of Vesicle",
 309       ylab="Length Forward Adjustment (kcal/mol)")
 310 @
 311
 312
 313 \subsubsection{Complex Formation}
 314 There is no contribution of complex formation to the forward reaction
 315 rate in the current formalism.
 316
 317 \begin{equation}
 318   CF1_f=1
 319   \label{eq:complex_formation_forward}
 320 \end{equation}
 321
 322 \subsection{Backward adjustments ($k_{bi\mathrm{adj}}$)}
 323
 324 Just as the forward rate constant adjustment $k_{fi\mathrm{adj}}$
 325 does, the backwards rate constant adjustment $k_{bi\mathrm{adj}}$
 326 takes into account unsaturation ($un_b$), charge ($ch_b$), curvature
 327 ($cu_b$), length ($l_b$), and complex formation ($CF1_b$), each of
 328 which are modified depending on the specific specie and the vesicle
 329 into which the specie is entering:
 330
 331
 332 \begin{equation}
 333   k_{bi\mathrm{adj}} = un_b \cdot ch_b \cdot cu_b \cdot l_b \cdot CF1_b
 334   \label{eq:kb_adj}
 335 \end{equation}
 336
 337 \subsubsection{Unsaturation Backward}
 338
 339 Unsaturation also influences the ability of a lipid molecule to leave
 340 a membrane. If a molecule has an unsaturation level which is different
 341 from the surrounding membrane, it will be more likely to leave the
 342 membrane. The more different the unsaturation level is, the greater
 343 the propensity for the lipid molecule to leave. However, a vesicle
 344 with some unsaturation is more favorable for lipids with more
 345 unsaturation than the equivalent amount of less unsatuturation, so the
 346 difference in energy between unsaturation is not linear. Therefore, an
 347 equation with the shape
 348 $x^{\left|y^{-\left<un_\mathrm{ves}\right>}-y^{-un_\mathrm{monomer}}\right|}$
 349 where $\left<un_\mathrm{ves}\right>$ is the average unsaturation of
 350 the vesicle, and $un_\mathrm{monomer}$ is the average unsaturation. In
 351 this equation, as the average unsaturation of the vesicle is larger,
 352
 353 \textcolor{red}{I don't like this equation; the explanation above
 354   seems really contrived. Need to discuss.}
 355
 356 \begin{equation}
 357   un_b = 10^{\left|3.5^{-\left<un_\mathrm{ves}\right>}-3.5^{-un_\mathrm{monomer}}\right|}
 358   \label{eq:unsaturation_backward}
 359 \end{equation}
 360
 361 <<fig=TRUE,echo=FALSE,results=hide,width=7,height=7>>=
 362 grid <- expand.grid(x=seq(0,4,length.out=20),
 363                     y=seq(0,4,length.out=20))
 364 grid$z <- 10^(abs(3.5^-grid$x-3.5^-grid$y))
 365 print(wireframe(z~x*y,grid,cuts=50,
 366           drape=TRUE,
 367           scales=list(arrows=FALSE),
 368           xlab=list("Average Vesicle Unsaturation",rot=30),
 369           ylab=list("Monomer Unsaturation",rot=-35),
 370           zlab=list("Unsaturation Backward",rot=93)))
 371 rm(grid)
 372 @
 373 <<fig=TRUE,echo=FALSE,results=hide,width=7,height=7>>=
 374 grid <- expand.grid(x=seq(0,4,length.out=20),
 375                     y=seq(0,4,length.out=20))
 376 grid$z <- to.kcal(10^(abs(3.5^-grid$x-3.5^-grid$y)))
 377 print(wireframe(z~x*y,grid,cuts=50,
 378           drape=TRUE,
 379           scales=list(arrows=FALSE),
 380           xlab=list("Average Vesicle Unsaturation",rot=30),
 381           ylab=list("Monomer Unsaturation",rot=-35),
 382           zlab=list("Unsaturation Backward (kcal/mol)",rot=93)))
 383 rm(grid)
 384 @
 385
 386
 387 \newpage
 388 \subsubsection{Charge Backwards}
 389 As in the case of monomers entering a vesicle, monomers leaving a
 390 vesicle leave faster if their charge has the same sign as the average
 391 charge vesicle. An equation of the form $ch_b = x^{\left<ch_v\right>
 392   ch_m}$ is then appropriate, and using a base of 20 for $x$ yields:
 393
 394 \begin{equation}
 395   ch_b = 20^{\left<{ch}_v\right> {ch}_m}
 396   \label{eq:charge_backwards}
 397 \end{equation}
 398
 399 <<fig=TRUE,echo=FALSE,results=hide,width=7,height=7>>=
 400 x <- seq(-1,0,length.out=20)
 401 y <- seq(-1,0,length.out=20)
 402 grid <- expand.grid(x=x,y=y)
 403 grid$z <- as.vector(20^(outer(x,y)))
 404 print(wireframe(z~x*y,grid,cuts=50,
 405           drape=TRUE,
 406           scales=list(arrows=FALSE),
 407           xlab=list("Average Vesicle Charge",rot=30),
 408           ylab=list("Component Charge",rot=-35),
 409           zlab=list("Charge Backwards",rot=93)))
 410 rm(x,y,grid)
 411 @
 412 <<fig=TRUE,echo=FALSE,results=hide,width=7,height=7>>=
 413 x <- seq(-1,0,length.out=20)
 414 y <- seq(-1,0,length.out=20)
 415 grid <- expand.grid(x=x,y=y)
 416 grid$z <- to.kcal(as.vector(20^(outer(x,y))))
 417 print(wireframe(z~x*y,grid,cuts=50,
 418           drape=TRUE,
 419           scales=list(arrows=FALSE),
 420           xlab=list("Average Vesicle Charge",rot=30),
 421           ylab=list("Component Charge",rot=-35),
 422           zlab=list("Charge Backwards (kcal/mol)",rot=93)))
 423 rm(x,y,grid)
 424 @
 425
 426 \newpage
 427 \subsubsection{Curvature Backwards}
 428
 429 The less a monomer's intrinsic curvature matches the average curvature
 430 of the vesicle in which it is in, the greater its rate of efflux. If
 431 the difference is 0, $cu_f$ needs to be one. To map negative and
 432 positive curvature to the same range, we also need take the logarithm.
 433 Increasing mismatches in curvature increase the rate of efflux, but
 434 asymptotically. \textcolor{red}{It is this property which the
 435   unsaturation backwards equation does \emph{not} satisfy, which I
 436   think it should.} An equation which satisfies this critera has the
 437 form $cu_f = a^{1-\left(b\left(\left<\log cu_\mathrm{vesicle} \right>
 438       -\log cu_\mathrm{monomer}\right)^2+1\right)^{-1}}$. An
 439 alternative form would use the aboslute value of the difference,
 440 however, this yields a cusp and sharp increase about the curvature
 441 equilibrium, which is decidedly non-elegant. We have chosen bases of
 442 $a=7$ and $b=20$.
 443
 444 \begin{equation}
 445   cu_f = 7^{1-\left(20\left(\left<\log cu_\mathrm{vesicle} \right> -\log cu_\mathrm{monomer}\right)^2+1\right)^{-1}}
 446   \label{eq:curvature_backwards}
 447 \end{equation}
 448
 449 <<fig=TRUE,echo=FALSE,results=hide,width=7,height=7>>=
 450 grid <- expand.grid(x=seq(0.8,1.33,length.out=20),
 451                     y=seq(0.8,1.33,length.out=20))
 452 grid$z <- 7^(1-1/(20*(log(grid$x)-log(grid$y))^2+1))
 453 print(wireframe(z~x*y,grid,cuts=50,
 454           drape=TRUE,
 455           scales=list(arrows=FALSE),
 456           xlab=list("Vesicle Curvature",rot=30),
 457           ylab=list("Monomer Curvature",rot=-35),
 458           zlab=list("Curvature Backward",rot=93)))
 459 rm(grid)
 460 @
 461 <<fig=TRUE,echo=FALSE,results=hide,width=7,height=7>>=
 462 grid <- expand.grid(x=seq(0.8,1.33,length.out=20),
 463                     y=seq(0.8,1.33,length.out=20))
 464 grid$z <- to.kcal(7^(1-1/(20*(log(grid$x)-log(grid$y))^2+1)))
 465 print(wireframe(z~x*y,grid,cuts=50,
 466           drape=TRUE,
 467           scales=list(arrows=FALSE),
 468           xlab=list("Vesicle Curvature",rot=30),
 469           ylab=list("Monomer Curvature",rot=-35),
 470           zlab=list("Curvature Backward (kcal/mol)",rot=93)))
 471 rm(grid)
 472 @
 473
 474
 475 \newpage
 476 \subsubsection{Length Backwards}
 477 \begin{equation}
 478   l_b = 3.2^{\left|l_\mathrm{ves}-l_\mathrm{monomer}\right|}
 479   \label{eq:length_backward}
 480 \end{equation}
 481
 482 <<fig=TRUE,echo=FALSE,results=hide,width=7,height=7>>=
 483 grid <- expand.grid(x=seq(12,24,length.out=20),
 484                     y=seq(12,24,length.out=20))
 485 grid$z <- 3.2^(abs(grid$x-grid$y))
 486 print(wireframe(z~x*y,grid,cuts=50,
 487           drape=TRUE,
 488           scales=list(arrows=FALSE),
 489           xlab=list("Average Vesicle Length",rot=30),
 490           ylab=list("Monomer Length",rot=-35),
 491           zlab=list("Length Backward",rot=93)))
 492 rm(grid)
 493 @
 494 <<fig=TRUE,echo=FALSE,results=hide,width=7,height=7>>=
 495 grid <- expand.grid(x=seq(12,24,length.out=20),
 496                     y=seq(12,24,length.out=20))
 497 grid$z <- to.kcal(3.2^(abs(grid$x-grid$y)))
 498 print(wireframe(z~x*y,grid,cuts=50,
 499           drape=TRUE,
 500           scales=list(arrows=FALSE),
 501           xlab=list("Average Vesicle Length",rot=30),
 502           ylab=list("Monomer Length",rot=-35),
 503           zlab=list("Length Backward (kcal/mol)",rot=93)))
 504 rm(grid)
 505 @
 506
 507
 508 \newpage
 509 \subsubsection{Complex Formation Backward}
 510 \begin{equation}
 511   CF1_b=1.5^{CF1_\mathrm{ves} CF1_\mathrm{monomer}-\left|CF1_\mathrm{ves} CF1_\mathrm{monomer}\right|}
 512   \label{eq:complex_formation_backward}
 513 \end{equation}
 514
 515 <<fig=TRUE,echo=FALSE,results=hide,width=7,height=7>>=
 516 grid <- expand.grid(x=seq(-1,3,length.out=20),
 517                     y=seq(-1,3,length.out=20))
 518 grid$z <- 3.2^(grid$x*grid$y-abs(grid$x*grid$y))
 519 print(wireframe(z~x*y,grid,cuts=50,
 520           drape=TRUE,
 521           scales=list(arrows=FALSE),
 522           xlab=list("Vesicle Complex Formation",rot=30),
 523           ylab=list("Monomer Complex Formation",rot=-35),
 524           zlab=list("Complex Formation Backward",rot=93)))
 525 rm(grid)
 526 @
 527 <<fig=TRUE,echo=FALSE,results=hide,width=7,height=7>>=
 528 grid <- expand.grid(x=seq(-1,3,length.out=20),
 529                     y=seq(-1,3,length.out=20))
 530 grid$z <- to.kcal(3.2^(grid$x*grid$y-abs(grid$x*grid$y)))
 531 print(wireframe(z~x*y,grid,cuts=50,
 532           drape=TRUE,
 533           scales=list(arrows=FALSE),
 534           xlab=list("Vesicle Complex Formation",rot=30),
 535           ylab=list("Monomer Complex Formation",rot=-35),
 536           zlab=list("Complex Formation Backward (kcal/mol)",rot=93)))
 537 rm(grid)
 538 @
 539
 540
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 544 % \bibliographystyle{plainnat}
 545 % \bibliography{references.bib}
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 548 \end{document}