kinetic_formalism.Rnw

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  20 \newenvironment{narrow}[2]{%
  21   \begin{list}{}{%
  22       \setlength{\topsep}{0pt}%
  23       \setlength{\leftmargin}{#1}%
  24       \setlength{\rightmargin}{#2}%
  25       \setlength{\listparindent}{\parindent}%
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  27       \setlength{\parsep}{\parskip}}%
  28   \item[]}{\end{list}}
  29 \newenvironment{paperquote}{%
  30   \begin{quote}%
  31      \it
  32   }%
  33   {\end{quote}}
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  39 \newenvironment{enumerate*}%
  40   {\begin{enumerate}%
  41     \setlength{\itemsep}{0pt}%
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  43   {\end{enumerate}}
  44 \newenvironment{itemize*}%
  45   {\begin{itemize}%
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  49 \oddsidemargin 0.0in
  50 \textwidth 6.5in
  51 \raggedbottom
  52 \clubpenalty = 10000
  53 \widowpenalty = 10000
  54 \pagestyle{fancy}
  55 \author{Don Armstrong}
  56 \title{OOL Kinetic Formalisms}
  57 %\date{}
  58 \onehalfspacing
  59 \begin{document}
  60 %\maketitle
  61
  62 <<results=hide,echo=FALSE>>=
  63 require(lattice)
  64 require(grid)
  65 # R in cal / mol K
  66 to.kcal <- function(k,temp=300) {
  67   gasconst <- 1.985
  68   return(-gasconst*temp*log(k)/1000)
  69 }
  70 @
  71
  72 \section{State Equation}
  73 % double check this with the bits in the paper
  74
  75 Given a base forward kinetic parameter for the $i$th specie $k_{fi}$
  76 (which is dependent on lipid type, that is PC, PE, PS, etc.), an
  77 adjustment parameter $k_{fi\mathrm{adj}}$ based on the vesicle and the
  78 specific specie (length, unsaturation, etc.) (see~\fref{eq:kf_adj}),
  79 the molar concentration of monomer of the $i$th specie
  80 $\left[C_{i_\mathrm{monomer}}\right]$, the surface area of the vesicle
  81 $S_\mathrm{ves}$, the base backwards kinetic parameter for the $i$th
  82 specie $k_{bi}$ which is also dependent on lipid type, its adjustment
  83 parameter $k_{bi\mathrm{adj}}$ (see~\fref{eq:kb_adj}), and the molar
  84 concentration of the $i$th specie in the vesicle $C_{i_\mathrm{ves}}$,
  85 the change in concentration of the $i$th specie in the vesicle per
  86 change in time $\frac{d C_{i_\mathrm{ves}}}{dt}$ can be calculated:
  87
  88 \begin{equation}
  89   \frac{d C_{i_\mathrm{ves}}}{dt} = k_{fi}k_{fi\mathrm{adj}}\left[C_{i_\mathrm{monomer}}\right]S_\mathrm{ves} -
  90   k_{bi}k_{bi\mathrm{adj}}C_{i_\mathrm{ves}}
  91   \label{eq:state}
  92 \end{equation}
  93
  94 For $k_{fi}k_{fi\mathrm{adj}}\left[C_{i_\mathrm{monomer}}\right]$,
  95 $k_{fi}$ has units of $\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}$,
  96 $k_{fi\mathrm{adj}}$ and $k_{bi\mathrm{adj}}$ are unitless,
  97 concentration is in units of $\frac{\mathrm{n}}{\mathrm{L}}$, surface
  98 area is in units of $\mathrm{m}^2$, $k_{bi}$ has units of
  99 $\frac{1}{\mathrm{s}}$ and $C_{i_\mathrm{ves}}$ has units of
 100 $\mathrm{n}$, Thus, we have
 101
 102 \begin{equation}
 103   \frac{\mathrm{n}}{\mathrm{s}} = \frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}} \frac{\mathrm{n}}{\mathrm{L}} \mathrm{m}^2 \frac{1000\mathrm{L}}{\mathrm{m}^3} -
 104   \frac{1}{\mathrm{s}} \mathrm{n}
 105   =
 106   \frac{\mathrm{m^3}}{\mathrm{s}} \frac{\mathrm{n}}{\mathrm{L}} \frac{1000\mathrm{L}}{\mathrm{m}^3} - \frac{\mathrm{n}}{\mathrm{s}}=
 107   \frac{\mathrm{n}}{\mathrm{s}} = 1000 \frac{\mathrm{n}}{\mathrm{s}} - \frac{\mathrm{n}}{\mathrm{s}}
 108   \label{eq:state_units}
 109 \end{equation}
 110
 111 The 1000 isn't in \fref{eq:state} above, because it is unit-dependent.
 112
 113 \subsection{Forward adjustments ($k_{fi\mathrm{adj}}$)}
 114
 115 The forward rate constant adjustment, $k_{fi\mathrm{adj}}$ takes into
 116 account unsaturation ($un_f$), charge ($ch_f$), curvature ($cu_f$),
 117 length ($l_f$), and complex formation ($CF1_f$), each of which are
 118 modified depending on the specific specie and the vesicle into which
 119 the specie is entering.
 120
 121 \begin{equation}
 122   k_{fi\mathrm{adj}} = un_f \cdot ch_f \cdot cu_f \cdot l_f \cdot CF1_f
 123   \label{eq:kf_adj}
 124 \end{equation}
 125
 126 \newpage
 127 \subsubsection{Unsaturation Forward}
 128
 129 In order for a lipid to be inserted into a membrane, a void has to be
 130 formed for it to fill. Voids can be generated by the combination of
 131 unsaturated and saturated lipids forming herterogeneous domains. Void
 132 formation is increased when the unsaturation of lipids in the vesicle
 133 is widely distributed; in other words, the insertion of lipids into
 134 the membrane is greater when the standard deviation of the
 135 unsaturation is larger. Assuming that an increase in width of the
 136 distribution linearly decreases the free energy of activation, the
 137 $un_f$ parameter must follow
 138 $a^{\mathrm{stdev}\left(un_\mathrm{ves}\right)}$ where $a > 1$, so a
 139 convenient starting base for $a$ is $2$:
 140
 141 \begin{equation}
 142   un_f = 2^{\mathrm{stdev}\left(un_\mathrm{ves}\right)}
 143   \label{eq:unsaturation_forward}
 144 \end{equation}
 145
 146 The most common $\mathrm{stdev}\left(un_\mathrm{ves}\right)$ is around
 147 $1.5$, which leads to a $\Delta \Delta G^\ddagger$ of
 148 $\Sexpr{format(digits=3,to.kcal(2^1.5))}
 149 \frac{\mathrm{kcal}}{\mathrm{mol}}$.
 150
 151 It is not clear that the unsaturation of the inserted monomer will
 152 affect the rate of the insertion positively or negatively, so we do
 153 not include a term for it in this formalism.
 154
 155
 156 \setkeys{Gin}{width=3.2in}
 157 <<fig=TRUE,echo=FALSE,results=hide,width=5,height=5>>=
 158 curve(2^x,from=0,to=sd(c(0,4)),
 159       main="Unsaturation Forward",
 160       xlab="Standard Deviation of Unsaturation of Vesicle",
 161       ylab="Unsaturation Forward Adjustment")
 162 @
 163 <<fig=TRUE,echo=FALSE,results=hide,width=5,height=5>>=
 164 curve(to.kcal(2^x),from=0,to=sd(c(0,4)),
 165       main="Unsaturation forward",
 166       xlab="Standard Deviation of Unsaturation of Vesicle",
 167       ylab="Unsaturation Forward (kcal/mol)")
 168 @
 169
 170
 171 \newpage
 172 \subsubsection{Charge Forward}
 173
 174 A charged lipid such as PS approaching a vesicle with an average
 175 charge of the same sign will experience repulsion, whereas those with
 176 different signs will experience attraction, the degree of which is
 177 dependent upon the charge of the monomer and the average charge of the
 178 vesicle. If either the vesicle or the monomer has no charge, there
 179 should be no effect of charge upon the rate. This leads us to the
 180 following equation, $a^{-\left<ch_v\right> ch_m}$, where
 181 $\left<ch_v\right>$ is the average charge of the vesicle, and $ch_m$
 182 is the charge of the monomer. If either $\left<ch_v\right>$ or $ch_m$
 183 is 0, the adjustment parameter is 1 (no change), whereas it decreases
 184 if both are positive or negative, as the product of two real numbers
 185 with the same sign is always positive. A convenient base for $a$ is
 186 60, resulting in the following equation:
 187
 188
 189 \begin{equation}
 190   ch_f = 60^{-\left<{ch}_v\right> {ch}_m}
 191   \label{eq:charge_forward}
 192 \end{equation}
 193
 194 The most common $\left<{ch}_v\right>$ is around $-0.165$, which leads to
 195 a range of $\Delta \Delta G^\ddagger$ from
 196 $\Sexpr{format(digits=3,to.kcal(60^(-.165*-1)))}
 197 \frac{\mathrm{kcal}}{\mathrm{mol}}$ to $0\frac{\mathrm{kcal}}{\mathrm{mol}}$.
 198
 199 <<fig=TRUE,echo=FALSE,results=hide,width=7,height=7>>=
 200 x <- seq(-1,0,length.out=20)
 201 y <- seq(-1,0,length.out=20)
 202 grid <- expand.grid(x=x,y=y)
 203 grid$z <- as.vector(60^(-outer(x,y)))
 204 print(wireframe(z~x*y,grid,cuts=50,
 205                 drape=TRUE,
 206                 scales=list(arrows=FALSE),
 207                 main="Charge Forward",
 208                 xlab=list("Average Vesicle Charge",rot=30),
 209                 ylab=list("Component Charge",rot=-35),
 210                 zlab=list("Charge Forward",rot=93)))
 211 rm(x,y,grid)
 212 @
 213 <<fig=TRUE,echo=FALSE,results=hide,width=7,height=7>>=
 214 x <- seq(-1,0,length.out=20)
 215 y <- seq(-1,0,length.out=20)
 216 grid <- expand.grid(x=x,y=y)
 217 grid$z <- as.vector(to.kcal(60^(-outer(x,y))))
 218 print(wireframe(z~x*y,grid,cuts=50,
 219                 drape=TRUE,
 220                 scales=list(arrows=FALSE),
 221                 main="Charge Forward (kcal/mol)",
 222                 xlab=list("Average Vesicle Charge",rot=30),
 223                 ylab=list("Component Charge",rot=-35),
 224                 zlab=list("Charge Forward (kcal/mol)",rot=93)))
 225 rm(x,y,grid)
 226 @
 227
 228
 229 \newpage
 230 \subsubsection{Curvature Forward}
 231
 232 Curvature is a measure of the intrinsic propensity of specific lipids
 233 to form micelles (positive curvature), inverted micelles (negative
 234 curvature), or planar sheets (zero curvature). In this formalism,
 235 curvature is measured as the ratio of the size of the head to that of
 236 the base, so negative curvature is bounded by $(0,1)$, zero curvature
 237 is 1, and positive curvature is bounded by $(1,\infty)$. The curvature
 238 can be transformed into the typical postive/negative mapping using
 239 $\log$, which has the additional property of making the range of
 240 positive and negative curvature equal, and distributed about 0.
 241
 242 As in the case of unsaturation, void formation is increased by the
 243 presence of lipids with mismatched curvature. Thus, a larger
 244 distribution of curvature in the vesicle increases the rate of lipid
 245 insertion into the vesicle. However, a species with curvature $e^{-1}$
 246 will cancel out a species with curvature $e$, so we have to log
 247 transform (turning these into -1 and 1), then take the absolute value
 248 (1 and 1), and finally measure the width of the distribution. Thus, by
 249 using the log transform to make the range of the lipid curvature equal
 250 between positive and negative, and taking the average to cancel out
 251 exactly mismatched curvatures, we come to an equation with the shape
 252 $a^{\left<\log cu_\mathrm{vesicle}\right>}$. A convenient base for $a$
 253 is $10$, yielding:
 254
 255
 256 \begin{equation}
 257  % cu_f = 10^{\mathrm{stdev}\left|\log cu_\mathrm{vesicle}\right|}
 258   cu_f = 10^{\left|\left<\log cu_\mathrm{vesicle} \right>\right|\mathrm{stdev} \left|\log cu_\mathrm{vesicle}\right|}
 259   \label{eq:curvature_forward}
 260 \end{equation}
 261
 262 The most common $\left|\left<\log {cu}_v\right>\right|$ is around
 263 $0.013$, which with the most common $\mathrm{stdev} \log
 264 cu_\mathrm{vesicle}$ of $0.213$ leads to a $\Delta \Delta G^\ddagger$
 265 of $\Sexpr{format(digits=3,to.kcal(10^(0.13*0.213)))}
 266 \frac{\mathrm{kcal}}{\mathrm{mol}}$. This is a consequence of the
 267 relatively matched curvatures in our environment.
 268
 269 % 1.5 to 0.75 3 to 0.33
 270 <<fig=TRUE,echo=FALSE,results=hide,width=7,height=7>>=
 271 grid <- expand.grid(x=seq(0,max(c(sd(abs(log(c(1,3)))),
 272                       sd(abs(log(c(1,0.33)))),sd(abs(log(c(0.33,3)))))),length.out=20),
 273                     y=seq(0,max(c(mean(log(c(1,3)),
 274                       mean(log(c(1,0.33))),
 275                       mean(log(c(0.33,3)))))),length.out=20))
 276 grid$z <- 10^(grid$x*grid$y)
 277 print(wireframe(z~x*y,grid,cuts=50,
 278           drape=TRUE,
 279           scales=list(arrows=FALSE),
 280           xlab=list("Vesicle stdev log curvature",rot=30),
 281           ylab=list("Vesicle average log curvature",rot=-35),
 282           zlab=list("Vesicle Curvature Forward",rot=93)))
 283 rm(grid)
 284 @
 285 <<fig=TRUE,echo=FALSE,results=hide,width=7,height=7>>=
 286 grid <- expand.grid(x=seq(0,max(c(sd(abs(log(c(1,3)))),
 287                       sd(abs(log(c(1,0.33)))),sd(abs(log(c(0.33,3)))))),length.out=20),
 288                     y=seq(0,max(c(mean(log(c(1,3)),
 289                       mean(log(c(1,0.33))),
 290                       mean(log(c(0.33,3)))))),length.out=20))
 291 grid$z <- to.kcal(10^(grid$x*grid$y))
 292 print(wireframe(z~x*y,grid,cuts=50,
 293           drape=TRUE,
 294           scales=list(arrows=FALSE),
 295           xlab=list("Vesicle stdev log curvature",rot=30),
 296           ylab=list("Vesicle average log curvature",rot=-35),
 297           zlab=list("Vesicle Curvature Forward (kcal/mol)",rot=93)))
 298 rm(grid)
 299 @
 300
 301 \newpage
 302 \subsubsection{Length Forward}
 303
 304 As in the case of unsaturation, void formation is easier when vesicles
 305 are made up of components of widely different lengths. Thus, when the
 306 width of the distribution of lengths is larger, the forward rate
 307 should be greater as well, leading us to an equation of the form
 308 $x^{\mathrm{stdev} l_\mathrm{ves}}$, where $\mathrm{stdev}
 309 l_\mathrm{ves}$ is the standard deviation of the length of the
 310 components of the vesicle, which has a maximum possible value of 8 and
 311 a minimum of 0 in this set of experiments. A convenient base for $x$
 312 is 2, leading to:
 313
 314 \begin{equation}
 315   l_f = 2^{\mathrm{stdev} l_\mathrm{ves}}
 316   \label{eq:length_forward}
 317 \end{equation}
 318
 319 The most common $\mathrm{stdev} l_\mathrm{ves}$ is around $3.4$, which leads to
 320 a range of $\Delta \Delta G^\ddagger$ of
 321 $\Sexpr{format(digits=3,to.kcal(2^(3.4)))}
 322 \frac{\mathrm{kcal}}{\mathrm{mol}}$.
 323
 324 While it could be argued that increased length of the monomer could
 325 affect the rate of insertion into the membrane, it's not clear whether
 326 it would increase (by decreasing the number of available hydrogen
 327 bonds, for example) or decrease (by increasing the time taken to fully
 328 insert the acyl chain, for example) the rate of insertion or to what
 329 degree, so we do not take it into account in this formalism.
 330
 331
 332 <<fig=TRUE,echo=FALSE,results=hide,width=7,height=5>>=
 333 curve(2^x,from=0,to=sd(c(12,24)),
 334       main="Length forward",
 335       xlab="Standard Deviation of Length of Vesicle",
 336       ylab="Length Forward Adjustment")
 337 @
 338 <<fig=TRUE,echo=FALSE,results=hide,width=7,height=5>>=
 339 curve(to.kcal(2^x),from=0,to=sd(c(12,24)),
 340       main="Length forward",
 341       xlab="Standard Deviation of Length of Vesicle",
 342       ylab="Length Forward Adjustment (kcal/mol)")
 343 @
 344
 345
 346 \subsubsection{Complex Formation}
 347 There is no contribution of complex formation to the forward reaction
 348 rate in the current formalism.
 349
 350 \begin{equation}
 351   CF1_f=1
 352   \label{eq:complex_formation_forward}
 353 \end{equation}
 354
 355 \subsection{Backward adjustments ($k_{bi\mathrm{adj}}$)}
 356
 357 Just as the forward rate constant adjustment $k_{fi\mathrm{adj}}$
 358 does, the backwards rate constant adjustment $k_{bi\mathrm{adj}}$
 359 takes into account unsaturation ($un_b$), charge ($ch_b$), curvature
 360 ($cu_b$), length ($l_b$), and complex formation ($CF1_b$), each of
 361 which are modified depending on the specific specie and the vesicle
 362 into which the specie is entering:
 363
 364
 365 \begin{equation}
 366   k_{bi\mathrm{adj}} = un_b \cdot ch_b \cdot cu_b \cdot l_b \cdot CF1_b
 367   \label{eq:kb_adj}
 368 \end{equation}
 369
 370 \subsubsection{Unsaturation Backward}
 371
 372 Unsaturation also influences the ability of a lipid molecule to leave
 373 a membrane. If a molecule has an unsaturation level which is different
 374 from the surrounding membrane, it will be more likely to leave the
 375 membrane. The more different the unsaturation level is, the greater
 376 the propensity for the lipid molecule to leave. However, a vesicle
 377 with some unsaturation is more favorable for lipids with more
 378 unsaturation than the equivalent amount of less unsatuturation, so the
 379 difference in energy between unsaturation is not linear. Therefore, an
 380 equation with the shape
 381 $x^{\left| y^{-\left< un_\mathrm{ves}\right> }-y^{-un_\mathrm{monomer}} \right| }$
 382 where $\left<un_\mathrm{ves}\right>$ is the average unsaturation of
 383 the vesicle, and $un_\mathrm{monomer}$ is the average unsaturation. In
 384 this equation, as the average unsaturation of the vesicle is larger,
 385
 386 \begin{equation}
 387   un_b = 7^{1-\left(20\left(2^{-\left<un_\mathrm{vesicle} \right>} - 2^{-un_\mathrm{monomer}} \right)^2+1\right)^{-1}}
 388   \label{eq:unsaturation_backward}
 389 \end{equation}
 390
 391 The most common $\left<un_\mathrm{ves}\right>$ is around $1.7$, which leads to
 392 a range of $\Delta \Delta G^\ddagger$ from
 393 $\Sexpr{format(digits=3,to.kcal(7^(1-1/(5*(2^-1.7-2^-0)^2+1))))}
 394 \frac{\mathrm{kcal}}{\mathrm{mol}}$ for monomers with 0 unsaturation
 395 to
 396 $\Sexpr{format(digits=3,to.kcal(7^(1-1/(5*(2^-1.7-2^-4)^2+1))))}\frac{\mathrm{kcal}}{\mathrm{mol}}$
 397 for monomers with 4 unsaturations.
 398
 399
 400 <<fig=TRUE,echo=FALSE,results=hide,width=7,height=7>>=
 401 grid <- expand.grid(x=seq(0,4,length.out=20),
 402                     y=seq(0,4,length.out=20))
 403 grid$z <- (7^(1-1/(5*(2^-grid$x-2^-grid$y)^2+1)))
 404 print(wireframe(z~x*y,grid,cuts=50,
 405           drape=TRUE,
 406           scales=list(arrows=FALSE),
 407           xlab=list("Average Vesicle Unsaturation",rot=30),
 408           ylab=list("Monomer Unsaturation",rot=-35),
 409           zlab=list("Unsaturation Backward",rot=93)))
 410 rm(grid)
 411 @
 412 <<fig=TRUE,echo=FALSE,results=hide,width=7,height=7>>=
 413 grid <- expand.grid(x=seq(0,4,length.out=20),
 414                     y=seq(0,4,length.out=20))
 415 grid$z <- to.kcal((7^(1-1/(5*(2^-grid$x-2^-grid$y)^2+1))))
 416 print(wireframe(z~x*y,grid,cuts=50,
 417           drape=TRUE,
 418           scales=list(arrows=FALSE),
 419           xlab=list("Average Vesicle Unsaturation",rot=30),
 420           ylab=list("Monomer Unsaturation",rot=-35),
 421           zlab=list("Unsaturation Backward (kcal/mol)",rot=93)))
 422 rm(grid)
 423 @
 424
 425
 426
 427 \newpage
 428 \subsubsection{Charge Backwards}
 429 As in the case of monomers entering a vesicle, monomers leaving a
 430 vesicle leave faster if their charge has the same sign as the average
 431 charge vesicle. An equation of the form $ch_b = a^{\left<ch_v\right>
 432   ch_m}$ is then appropriate, and using a base of $a=20$ yields:
 433
 434 \begin{equation}
 435   ch_b = 20^{\left<{ch}_v\right> {ch}_m}
 436   \label{eq:charge_backwards}
 437 \end{equation}
 438
 439 The most common $\left<ch_v\right>$ is around $-0.164$, which leads to
 440 a range of $\Delta \Delta G^\ddagger$ from
 441 $\Sexpr{format(digits=3,to.kcal(20^(-.164*-1)))}
 442 \frac{\mathrm{kcal}}{\mathrm{mol}}$ for monomers with charge $-1$ to
 443 $0\frac{\mathrm{kcal}}{\mathrm{mol}}$
 444 for monomers with charge $0$.
 445
 446
 447 <<fig=TRUE,echo=FALSE,results=hide,width=7,height=7>>=
 448 x <- seq(-1,0,length.out=20)
 449 y <- seq(-1,0,length.out=20)
 450 grid <- expand.grid(x=x,y=y)
 451 grid$z <- as.vector(20^(outer(x,y)))
 452 print(wireframe(z~x*y,grid,cuts=50,
 453           drape=TRUE,
 454           scales=list(arrows=FALSE),
 455           xlab=list("Average Vesicle Charge",rot=30),
 456           ylab=list("Component Charge",rot=-35),
 457           zlab=list("Charge Backwards",rot=93)))
 458 rm(x,y,grid)
 459 @
 460 <<fig=TRUE,echo=FALSE,results=hide,width=7,height=7>>=
 461 x <- seq(-1,0,length.out=20)
 462 y <- seq(-1,0,length.out=20)
 463 grid <- expand.grid(x=x,y=y)
 464 grid$z <- to.kcal(as.vector(20^(outer(x,y))))
 465 print(wireframe(z~x*y,grid,cuts=50,
 466           drape=TRUE,
 467           scales=list(arrows=FALSE),
 468           xlab=list("Average Vesicle Charge",rot=30),
 469           ylab=list("Component Charge",rot=-35),
 470           zlab=list("Charge Backwards (kcal/mol)",rot=93)))
 471 rm(x,y,grid)
 472 @
 473
 474 \newpage
 475 \subsubsection{Curvature Backwards}
 476
 477 The less a monomer's intrinsic curvature matches the average curvature
 478 of the vesicle in which it is in, the greater its rate of efflux. If
 479 the difference is 0, $cu_f$ needs to be one. To map negative and
 480 positive curvature to the same range, we also need take the logarithm.
 481 Increasing mismatches in curvature increase the rate of efflux, but
 482 asymptotically.  An equation which satisfies this critera has the
 483 form $cu_f = a^{1-\left(b\left( \left< \log cu_\mathrm{vesicle} \right>
 484       -\log cu_\mathrm{monomer}\right)^2+1\right)^{-1}}$. An
 485 alternative form would use the aboslute value of the difference,
 486 however, this yields a cusp and sharp increase about the curvature
 487 equilibrium, which is decidedly non-elegant. We have chosen bases of
 488 $a=7$ and $b=20$.
 489
 490 \begin{equation}
 491   cu_b = 7^{1-\left(20\left(\left< \log cu_\mathrm{vesicle} \right> -\log cu_\mathrm{monomer} \right)^2+1\right)^{-1}}
 492   \label{eq:curvature_backwards}
 493 \end{equation}
 494
 495 The most common $\left<\log cu_\mathrm{ves}\right>$ is around $-0.013$, which leads to
 496 a range of $\Delta \Delta G^\ddagger$ from
 497 $\Sexpr{format(digits=3,to.kcal(7^(1-1/(20*(-0.013-log(0.8))^2+1))))}
 498 \frac{\mathrm{kcal}}{\mathrm{mol}}$ for monomers with curvature 0.8
 499 to
 500 $\Sexpr{format(digits=3,to.kcal(7^(1-1/(20*(-0.013-log(1.3))^2+1))))}\frac{\mathrm{kcal}}{\mathrm{mol}}$
 501 for monomers with curvature 1.3 to $0\frac{\mathrm{kcal}}{\mathrm{mol}}$ for monomers with curvature near 1.
 502
 503
 504 <<fig=TRUE,echo=FALSE,results=hide,width=7,height=7>>=
 505 grid <- expand.grid(x=seq(0.8,1.33,length.out=20),
 506                     y=seq(0.8,1.33,length.out=20))
 507 grid$z <- 7^(1-1/(20*(log(grid$x)-log(grid$y))^2+1))
 508 print(wireframe(z~x*y,grid,cuts=50,
 509           drape=TRUE,
 510           scales=list(arrows=FALSE),
 511           xlab=list("Vesicle Curvature",rot=30),
 512           ylab=list("Monomer Curvature",rot=-35),
 513           zlab=list("Curvature Backward",rot=93)))
 514 rm(grid)
 515 @
 516 <<fig=TRUE,echo=FALSE,results=hide,width=7,height=7>>=
 517 grid <- expand.grid(x=seq(0.8,1.33,length.out=20),
 518                     y=seq(0.8,1.33,length.out=20))
 519 grid$z <- to.kcal(7^(1-1/(20*(log(grid$x)-log(grid$y))^2+1)))
 520 print(wireframe(z~x*y,grid,cuts=50,
 521           drape=TRUE,
 522           scales=list(arrows=FALSE),
 523           xlab=list("Vesicle Curvature",rot=30),
 524           ylab=list("Monomer Curvature",rot=-35),
 525           zlab=list("Curvature Backward (kcal/mol)",rot=93)))
 526 rm(grid)
 527 @
 528
 529 \newpage
 530 \subsubsection{Length Backwards}
 531
 532 In a model membrane, the dissociation constant increases by a factor
 533 of approximately 3.2 per carbon decrease in acyl chain length (Nichols
 534 1985). Unfortunatly, the experimental data known to us only measures
 535 chain length less than or equal to the bulk lipid, and does not exceed
 536 it, and is only known for one bulk lipid species (DOPC). We assume
 537 then, that the increase is in relationship to the average vesicle, and
 538 that lipids with larger acyl chain length will also show an increase
 539 in their dissociation constant.
 540
 541 \begin{equation}
 542   l_b = 3.2^{\left|\left<l_\mathrm{ves}\right>-l_\mathrm{monomer}\right|}
 543   \label{eq:length_backward}
 544 \end{equation}
 545
 546 The most common $\left<\log l_\mathrm{ves}\right>$ is around $17.75$, which leads to
 547 a range of $\Delta \Delta G^\ddagger$ from
 548 $\Sexpr{format(digits=3,to.kcal(3.2^abs(12-17.75)))}
 549 \frac{\mathrm{kcal}}{\mathrm{mol}}$ for monomers with length 12
 550 to
 551 $\Sexpr{format(digits=3,to.kcal(3.2^abs(24-17.75)))}\frac{\mathrm{kcal}}{\mathrm{mol}}$
 552 for monomers with length 24 to $0\frac{\mathrm{kcal}}{\mathrm{mol}}$ for monomers with curvature near 18.
 553
 554
 555 <<fig=TRUE,echo=FALSE,results=hide,width=7,height=7>>=
 556 grid <- expand.grid(x=seq(12,24,length.out=20),
 557                     y=seq(12,24,length.out=20))
 558 grid$z <- 3.2^(abs(grid$x-grid$y))
 559 print(wireframe(z~x*y,grid,cuts=50,
 560           drape=TRUE,
 561           scales=list(arrows=FALSE),
 562           xlab=list("Average Vesicle Length",rot=30),
 563           ylab=list("Monomer Length",rot=-35),
 564           zlab=list("Length Backward",rot=93)))
 565 rm(grid)
 566 @
 567 <<fig=TRUE,echo=FALSE,results=hide,width=7,height=7>>=
 568 grid <- expand.grid(x=seq(12,24,length.out=20),
 569                     y=seq(12,24,length.out=20))
 570 grid$z <- to.kcal(3.2^(abs(grid$x-grid$y)))
 571 print(wireframe(z~x*y,grid,cuts=50,
 572           drape=TRUE,
 573           scales=list(arrows=FALSE),
 574           xlab=list("Average Vesicle Length",rot=30),
 575           ylab=list("Monomer Length",rot=-35),
 576           zlab=list("Length Backward (kcal/mol)",rot=93)))
 577 rm(grid)
 578 @
 579
 580
 581 \newpage
 582 \subsubsection{Complex Formation Backward}
 583
 584 Complex formation describes the interaction between CHOL and PC or SM,
 585 where PC or SM protects the hydroxyl group of CHOL from interactions
 586 with water, the ``Umbrella Model''. PC ($CF1=2$) can interact with two
 587 CHOL, and SM ($CF1=3$) with three CHOL ($CF1=-1$). If the average of
 588 $CF1$ is positive (excess of SM and PC with regards to complex
 589 formation), species with negative $CF1$ (CHOL) will be retained. If
 590 average $CF1$ is negative, species with positive $CF1$ are retained.
 591 An equation which has this property is
 592 $CF1_b=a^{\left<CF1_\mathrm{ves}\right>
 593   CF1_\mathrm{monomer}-\left|\left<CF1_\mathrm{ves}\right>
 594     CF1_\mathrm{monomer}\right|}$, where difference of the exponent is
 595 zero if the average $CF1$ and the $CF1$ of the specie have the same
 596 sign, or double the product if the signs are different. A convenient
 597 base for $a$ is $1.5$.
 598
 599
 600 \begin{equation}
 601   CF1_b=1.5^{\left<CF1_\mathrm{ves}\right> CF1_\mathrm{monomer}-\left|\left<CF1_\mathrm{ves}\right> CF1_\mathrm{monomer}\right|}
 602   \label{eq:complex_formation_backward}
 603 \end{equation}
 604
 605 The most common $\left<CF1_\mathrm{ves}\right>$ is around $0.925$,
 606 which leads to a range of $\Delta \Delta G^\ddagger$ from
 607 $\Sexpr{format(digits=3,to.kcal(1.5^(0.925*-1-abs(0.925*-1))))}
 608 \frac{\mathrm{kcal}}{\mathrm{mol}}$ for monomers with complex
 609 formation $-1$ to
 610 $\Sexpr{format(digits=3,to.kcal(1.5^(0.925*2-abs(0.925*2))))}\frac{\mathrm{kcal}}{\mathrm{mol}}$
 611 for monomers with complex formation $2$ to
 612 $0\frac{\mathrm{kcal}}{\mathrm{mol}}$ for monomers with complex
 613 formation $0$.
 614
 615
 616 <<fig=TRUE,echo=FALSE,results=hide,width=7,height=7>>=
 617 grid <- expand.grid(x=seq(-1,3,length.out=20),
 618                     y=seq(-1,3,length.out=20))
 619 grid$z <- 1.5^(grid$x*grid$y-abs(grid$x*grid$y))
 620 print(wireframe(z~x*y,grid,cuts=50,
 621           drape=TRUE,
 622           scales=list(arrows=FALSE),
 623           xlab=list("Vesicle Complex Formation",rot=30),
 624           ylab=list("Monomer Complex Formation",rot=-35),
 625           zlab=list("Complex Formation Backward",rot=93)))
 626 rm(grid)
 627 @
 628 <<fig=TRUE,echo=FALSE,results=hide,width=7,height=7>>=
 629 grid <- expand.grid(x=seq(-1,3,length.out=20),
 630                     y=seq(-1,3,length.out=20))
 631 grid$z <- to.kcal(1.5^(grid$x*grid$y-abs(grid$x*grid$y)))
 632 print(wireframe(z~x*y,grid,cuts=50,
 633           drape=TRUE,
 634           scales=list(arrows=FALSE),
 635           xlab=list("Vesicle Complex Formation",rot=30),
 636           ylab=list("Monomer Complex Formation",rot=-35),
 637           zlab=list("Complex Formation Backward (kcal/mol)",rot=93)))
 638 rm(grid)
 639 @
 640
 641
 642
 643
 644
 645 % \bibliographystyle{plainnat}
 646 % \bibliography{references.bib}
 647
 648
 649 \end{document}