Documentation/tex/fonts.doc

   1 % -*-LaTeX-*-
   2
   3 \documentclass{article}
   4 \def\kdots{,\ldots,}
   5 \title{Not the Font-En-Tja font}
   6 \author{HWN \& JCN}
   7 \begin{document}
   8 \maketitle
   9
  10
  11 \section{Introduction}
  12
  13 This document are some design notes of the Feta font, and other
  14 symbols related to LilyPond.  Feta (not an abbreviation of
  15 Font-En-Tja) is a font of music symbols.  All MetaFont sources are
  16 original.  The symbols are modelled after various editions of music,
  17 notably \begin{itemize} \item B\"arenreiter \item Hofmeister \item
  18 Breitkopf \item Durand \& C'ie \end{itemize}
  19
  20 The best references on Music engraving are Wanske\cite{wanske} and
  21 Ross\cite{ross} quite some of their insights were used.  Although it
  22 is a matter of taste, I'd say that B\"arenreiter has the finest
  23 typography of all.
  24
  25
  26 \section{Bezier curves for slurs}
  27
  28 Objective:  slurs in music are curved objects designating that notes
  29 should fluently bound.  They are drawn as smooth curves, with their
  30 center thicker and the endings tapered.
  31
  32 There are some variants: the simplest slur shape only has the width as
  33 parameter.  Then we give some suggestions for tuning the shapes.  The
  34 simple slur algorithm is used for drawing ties as well.
  35
  36
  37
  38 \subsection{Simple slurs}
  39
  40 Long slurs are flat, whereas short slurs look like small circle arcs.
  41 Details are given in Wanske\cite{ross} and Ross\cite{wanske}.  The
  42 shape of a slur can be given as a Bezier curve with four control
  43 points:
  44
  45 \begin{eqnarray*}
  46   B(t) &=& (1-t)^3c_1 +3(1-t)^2tc_2 + 3(1-t)t^2c_3 + t^3c_4.
  47 \end{eqnarray*}
  48
  49 We will assume that the slur connects two notes of the same
  50 pitch.  Different slurs can be created by rotating the derived shape.
  51 We will also assume that the slur has a vertical axis of symmetry
  52 through its center.  The left point will be the origin.     So we have
  53 the following equations for the control points $c_1\kdots c_4$.
  54
  55 \begin{eqnarray*}
  56 c_1&=& (0,0)\\
  57 c_2&=& (i, h)\\
  58 c_3&=& (b-i, h)\\
  59 c_4&=& (b, 0)
  60 \end{eqnarray*}
  61
  62 The quantity $b$ is given, it is the width of the slur.  The
  63 conditions on the shape of the slur for small and large $b$ transform
  64 to
  65 \begin{eqnarray*}
  66  h \to h_{\infty} , &&\quad b \to \infty\\
  67  h \approx r_{0} b, &&\quad b \to 0.
  68 \end{eqnarray*}
  69 To tackle  this, we  will  assume that $h   = F(b)$, for  some kind of
  70 $F(\cdot)$.  One function that satisfies the above conditions is
  71 $$
  72 F(b) = h_{\infty} \frac{2}{\pi} \arctan \left( \frac{\pi r_0}{2
  73 h_{\infty}} b \right).
  74 $$
  75
  76 For satisfying results we choose $h_{\infty} = 2\cdot \texttt{interline}$
  77 and $r_0 = \frac 13$.
  78
  79 \subsection{Height correction}
  80
  81 Aside from being a smooth curve, slurs should avoid crossing
  82 enclosed notes and their stems.
  83
  84 An easy way to achieve this is to extend the slur's height,
  85 so that the slur will curve just above any disturbing notes.
  86
  87 The parameter $i$ determines the flatness of the curve.  Satisfying
  88 results have been obtained with $i = h$.
  89
  90 The formula can be generalised to allow for corrections in the shape,
  91 \begin{eqnarray*}
  92 c_1&=& (0,0)\\
  93 c_2&=& (i', h')\\
  94 c_3&=& (b-i', h')\\
  95 c_4&=& (b, 0)
  96 \end{eqnarray*}
  97 Where
  98 $$
  99 i' = h(b) (1 + i_{corr}), \quad h' = h(b) (1 + h_{corr}).
 100 $$
 101
 102 The default values for these corrections are $0$.  A $h_{corr}$ that is
 103 negative, makes the curve flatter in the center.  A $h_{corr}$ that is
 104 positive make the curve higher.
 105
 106 At every encompassed note's x position the difference $\delta _y$
 107 between the slur's height and the note is calculated.  The greatest
 108 $\delta _y$ is used to calculate $h_{corr}$ is by lineair extrapolation.
 109
 110 However, this simple method produces satisfactory results only for
 111 small and symmetric disturbances.
 112
 113
 114 \subsection{Tangent method correction}
 115
 116 A somewhat more elaborate\footnote{While staying in the realm
 117 of emperic computer science} way of having a slur avoid
 118 disturbing notes is by first defining the slur's ideal shape
 119 and then using the height correction.  The ideal shape of a
 120 slur can be guessed by calculating the tangents of the disturbing
 121 notes:
 122 % a picture wouldn't hurt...
 123 \begin{eqnarray*}
 124   y_{disturb,l} &=& \rm{rc}_l x\\
 125   y_{disturb,r} &=& \rm{rc}_r + c_{3,x},
 126 \end{eqnarray*}
 127 where
 128 \begin{eqnarray*}
 129   \rm{rc}_l &=& \frac{y_{disturb,l} - y_{encompass,1}}
 130     {x_{disturb,l} - x_{encompass,1}}\dot x\\
 131   \rm{rc}_r &=& \frac{y_{encompass,n} - y_{disturb,r}}
 132     {x_{encompass,n} - x_{disturb,r}} \dot x + c_{3,x}.
 133 \end{eqnarray*}
 134
 135 We assume that having the control points $c_2$ and $c_3$ located
 136 on tangent$_1$ and tangent$_2$ resp.
 137 % t: tangent
 138 \begin{eqnarray*}
 139   y_{tangent,l} &=& \alpha \rm{rc}_l x\\
 140   y_{tangent,r} &=& \alpha \rm{rc}_r + c_{3,x}.
 141 \end{eqnarray*}
 142
 143 Beautiful slurs have rather strong curvature at the extreme
 144 control points.  That's why we'll have $\alpha > 1$.
 145 Satisfactory resulsts have been obtained with
 146 $$
 147   \alpha \approx 2.4.
 148 $$
 149
 150 The positions of control points $c_2$ and $c_3$ are obtained
 151 by solving with the height-line
 152 \begin{eqnarray*}
 153   y_h &=& \rm{rc}_h + c_h.
 154 \end{eqnarray*}
 155
 156 The top-line runs through the points disturb$_{left}$ and
 157 disturb$_{right}$.  In the case that
 158 $$
 159 z_{disturb,l} = z_{disturb,r},
 160 $$
 161 we'll have
 162 $$
 163   \angle(y_{tangent,l},y_h) = \angle(y_{tangent,r},y_h).
 164 $$
 165
 166
 167
 168 \section{Sizes}
 169
 170 Traditional engraving uses a set of 9 standardised sizes for Staffs
 171 (running from 0 to 8).
 172
 173 We have tried to measure these (helped by a magnifying glass), and
 174 found the staffsizes in  table~\ref{fonts:staff-size}.  One should note that
 175 these are estimates, so I think there could be a measuring error of ~
 176 .5 pt.  Moreover [Ross] states that not all engravers use exactly
 177 those sizes.
 178
 179 \begin{table}[h]
 180   \begin{center}
 181     \begin{tabular}{lll}
 182 Staffsize       &Numbers                &Name\\
 183 \hline\\
 184 26.2pt  &No. 0\\
 185 22.6pt  &No. 1          &Giant/English\\
 186 21.3pt  &No. 2          &Giant/English\\
 187 19.9pt  &No. 3          &Regular, Ordinary, Common\\
 188 19.1pt  &No. 4          &Peter\\
 189 17.1pt  &No. 5          &Large middle\\
 190 15.9pt  &No. 6          &Small middle\\
 191 13.7pt  &No. 7          &Cadenza\\
 192 11.1pt  &No. 8          &Pearl\\
 193
 194     \end{tabular}
 195     \caption{Foo}
 196     \label{fonts:staff-size}
 197   \end{center}
 198 \end{table}
 199
 200 Ross states that the dies (the stamps to make the symbols) come in
 201 12 different sizes.
 202
 203 \section{Beams}
 204
 205 \subsection{Slope}
 206
 207 Traditionally, beam slopes are computed by following a large and hairy
 208 set of rules.  Some of these are talked-about in Wanske, a more
 209 recipy-like description can be found in Ross.
 210
 211 There are some problems when trying to follow these rules:
 212 \begin{itemize}
 213
 214 \item the set is not complete
 215
 216 \item they are not formulated as a general rule with exceptions, but
 217 rather as a huge case of individual rules\cite{ross}
 218
 219 \item in some cases, the result is wrong or ugly (or both)
 220
 221 \item they try to solve a couple of problems at a time (e.g. Ross
 222 handles ideal slope and slope-quantisation as a paired problem)
 223 \end{itemize}
 224 Reading Ross it is clear that the rules presented there are certainly
 225 not the ultimate idea of what beam(slope)s should look like, but
 226 rather a (very much) simplified hands-on recipy for a human engraver.
 227
 228 There are good reasons not to follow those rules:
 229
 230 \begin{itemize}
 231 \item One cannot expect a human engraver to solve least-squares
 232 problems for every beam
 233
 234 \item A human engravers will allways trust themselves in judging the
 235 outcome of the applied recipy.  If, in a complicated case, the result
 236 "doesn't look good", they will ignore the rules and draw their own
 237 beams, based on experience.
 238
 239 \item The exact rules probably even don't "really exsist" but in the
 240 minds of good engravers, in the form of experience
 241 \end{itemize}
 242
 243 We'll propose to do a least-squares solve.  This seems to be the best
 244 way to calculate the slope for a computerised engraver such as Lily.
 245
 246 It would be nice to have some rules to catch and handle "ugly" cases,
 247 though.  In general, the slope of the beam should mirror the pitches
 248 of the notes.  If this "can't be done" because there simply is no
 249 uniform "trend", it would probably be best to set the slope to zero.
 250
 251
 252 \subsection{Quantising}
 253
 254 The beams should be prevented to conflict with the stafflines,
 255 especially at small slopes.  Traditionally, poor printing techniques
 256 imposed rather strict rules for quantisation.  In modern (post 1955)
 257 music printing we see that quality has improved substantially and
 258 obsoleted the technical justification for following some of these
 259 strict rules, notably the avoiding of so-called wedges.
 260
 261
 262
 263 \bibliographystyle{plain}
 264 \bibliography{engraving}
 265
 266
 267
 268 \end{document}