lily/bezier.cc

   1 /*
   2   This file is part of LilyPond, the GNU music typesetter.
   3
   4   Copyright (C) 1998--2011 Jan Nieuwenhuizen <janneke@gnu.org>
   5
   6   LilyPond is free software: you can redistribute it and/or modify
   7   it under the terms of the GNU General Public License as published by
   8   the Free Software Foundation, either version 3 of the License, or
   9   (at your option) any later version.
  10
  11   LilyPond is distributed in the hope that it will be useful,
  12   but WITHOUT ANY WARRANTY; without even the implied warranty of
  13   MERCHANTABILITY or FITNESS FOR A PARTICULAR PURPOSE.  See the
  14   GNU General Public License for more details.
  15
  16   You should have received a copy of the GNU General Public License
  17   along with LilyPond.  If not, see <http://www.gnu.org/licenses/>.
  18 */
  19
  20 #include "bezier.hh"
  21 #include "warn.hh"
  22 #include "libc-extension.hh"
  23
  24 Real binomial_coefficient_3[] =
  25 {
  26   1, 3, 3, 1
  27 };
  28
  29 void
  30 scale (vector<Offset> *array, Real x, Real y)
  31 {
  32   for (vsize i = 0; i < array->size (); i++)
  33     {
  34       (*array)[i][X_AXIS] = x * (*array)[i][X_AXIS];
  35       (*array)[i][Y_AXIS] = y * (*array)[i][Y_AXIS];
  36     }
  37 }
  38
  39 void
  40 rotate (vector<Offset> *array, Real phi)
  41 {
  42   Offset rot (complex_exp (Offset (0, phi)));
  43   for (vsize i = 0; i < array->size (); i++)
  44     (*array)[i] = complex_multiply (rot, (*array)[i]);
  45 }
  46
  47 void
  48 translate (vector<Offset> *array, Offset o)
  49 {
  50   for (vsize i = 0; i < array->size (); i++)
  51     (*array)[i] += o;
  52 }
  53
  54 /*
  55   Formula of the bezier 3-spline
  56
  57   sum_{j = 0}^3 (3 over j) z_j (1-t)^ (3-j)  t^j
  58
  59
  60   A is the axis of X coordinate.
  61 */
  62
  63 Real
  64 Bezier::get_other_coordinate (Axis a, Real x) const
  65 {
  66   Axis other = Axis ((a + 1) % NO_AXES);
  67   vector<Real> ts = solve_point (a, x);
  68
  69   if (ts.size () == 0)
  70     {
  71       programming_error ("no solution found for Bezier intersection");
  72       return 0.0;
  73     }
  74
  75 #ifdef PARANOID
  76   Offset c = curve_point (ts[0]);
  77   if (fabs (c[a] - x) > 1e-8)
  78     programming_error ("bezier intersection not correct?");
  79 #endif
  80
  81   return curve_coordinate (ts[0], other);
  82 }
  83
  84 vector<Real>
  85 Bezier::get_other_coordinates (Axis a, Real x) const
  86 {
  87   Axis other = other_axis (a);
  88   vector<Real> ts = solve_point (a, x);
  89   vector<Real> sols;
  90   for (vsize i = 0; i < ts.size (); i++)
  91     sols.push_back (curve_coordinate (ts[i], other));
  92   return sols;
  93 }
  94
  95 Real
  96 Bezier::curve_coordinate (Real t, Axis a) const
  97 {
  98   Real tj = 1;
  99   Real one_min_tj[4];
 100   one_min_tj[0] = 1;
 101   for (int i = 1; i < 4; i++)
 102     one_min_tj[i] = one_min_tj[i - 1] * (1 - t);
 103
 104   Real r = 0.0;
 105   for (int j = 0; j < 4; j++)
 106     {
 107       r += control_[j][a] * binomial_coefficient_3[j]
 108            * tj * one_min_tj[3 - j];
 109
 110       tj *= t;
 111     }
 112
 113   return r;
 114 }
 115
 116 Offset
 117 Bezier::curve_point (Real t) const
 118 {
 119   Real tj = 1;
 120   Real one_min_tj[4];
 121   one_min_tj[0] = 1;
 122   for (int i = 1; i < 4; i++)
 123     one_min_tj[i] = one_min_tj[i - 1] * (1 - t);
 124
 125   Offset o;
 126   for (int j = 0; j < 4; j++)
 127     {
 128       o += control_[j] * binomial_coefficient_3[j]
 129            * tj * one_min_tj[3 - j];
 130
 131       tj *= t;
 132     }
 133
 134 #ifdef PARANOID
 135   assert (fabs (o[X_AXIS] - polynomial (X_AXIS).eval (t)) < 1e-8);
 136   assert (fabs (o[Y_AXIS] - polynomial (Y_AXIS).eval (t)) < 1e-8);
 137 #endif
 138
 139   return o;
 140 }
 141
 142 /*
 143   Cache binom (3, j) t^j (1-t)^{3-j}
 144 */
 145 struct Polynomial_cache
 146 {
 147   Polynomial terms_[4];
 148   Polynomial_cache ()
 149   {
 150     for (int j = 0; j <= 3; j++)
 151       terms_[j]
 152         = binomial_coefficient_3[j]
 153           * Polynomial::power (j, Polynomial (0, 1))
 154           * Polynomial::power (3 - j, Polynomial (1, -1));
 155   }
 156 };
 157
 158 static Polynomial_cache poly_cache;
 159
 160 Polynomial
 161 Bezier::polynomial (Axis a) const
 162 {
 163   Polynomial p (0.0);
 164   Polynomial q;
 165   for (int j = 0; j <= 3; j++)
 166     {
 167       q = poly_cache.terms_[j];
 168       q *= control_[j][a];
 169       p += q;
 170     }
 171
 172   return p;
 173 }
 174
 175 /**
 176    Remove all numbers outside [0, 1] from SOL
 177 */
 178 vector<Real>
 179 filter_solutions (vector<Real> sol)
 180 {
 181   for (vsize i = sol.size (); i--;)
 182     if (sol[i] < 0 || sol[i] > 1)
 183       sol.erase (sol.begin () + i);
 184   return sol;
 185 }
 186
 187 /**
 188    find t such that derivative is proportional to DERIV
 189 */
 190 vector<Real>
 191 Bezier::solve_derivative (Offset deriv) const
 192 {
 193   Polynomial xp = polynomial (X_AXIS);
 194   Polynomial yp = polynomial (Y_AXIS);
 195   xp.differentiate ();
 196   yp.differentiate ();
 197
 198   Polynomial combine = xp * deriv[Y_AXIS] - yp * deriv [X_AXIS];
 199
 200   return filter_solutions (combine.solve ());
 201 }
 202
 203 /*
 204   Find t such that curve_point (t)[AX] == COORDINATE
 205 */
 206 vector<Real>
 207 Bezier::solve_point (Axis ax, Real coordinate) const
 208 {
 209   Polynomial p (polynomial (ax));
 210   p.coefs_[0] -= coordinate;
 211
 212   vector<Real> sol (p.solve ());
 213   return filter_solutions (sol);
 214 }
 215
 216 /**
 217    Assuming AX is X_AXIS, and D is UP, finds the
 218    maximum value of curve_coordinate(t, Y_AXIS) subject to
 219    l <= curve_coordinate(t, X_AXIS) <= r.
 220 */
 221 Real
 222 Bezier::minmax (Axis ax, Real l, Real r, Direction d) const
 223 {
 224   Axis other = other_axis (ax);
 225   Interval lr (l, r);
 226   vector<Real> solutions;
 227
 228   // Possible solutions are:
 229   // t = 0 or 1, or...
 230   solutions.push_back (0);
 231   solutions.push_back (1);
 232
 233   // t is a critical point for the other-axis polynomial, or...
 234   Polynomial p_prime (polynomial (other));
 235   p_prime.differentiate ();
 236   vector<Real> criticals = p_prime.solve ();
 237   solutions.insert (solutions.end (), criticals.begin (), criticals.end ());
 238
 239   // t solves curve_coordinate(t, X_AXIS) = l or r.
 240   Direction dir = LEFT;
 241   do
 242     {
 243       Polynomial p (polynomial (ax));
 244       p.coefs_[0] -= lr[dir];
 245
 246       vector<Real> sol = p.solve ();
 247       solutions.insert (solutions.end (), sol.begin (), sol.end ());
 248     }
 249   while (flip (&dir) != LEFT);
 250
 251   Polynomial p (polynomial (ax));
 252   Polynomial other_p (polynomial (other));
 253   vector<Real> values;
 254   for (vsize i = solutions.size (); i--;)
 255     {
 256       Real t = solutions[i];
 257       if (t >= 0 && t <= 1
 258           // FIXME: floating point comparison for equality
 259           // Two of the t in solutions were found by solving
 260           // p(t) = l, bzw. r, and we want this test to pass for these t,
 261           // but it can easily fail if floating point internal precision
 262           // differs from storage precision.
 263           // Better to store separately the two t for which p(t) = l and r
 264           && p.eval (t) >= l && p.eval (t) <= r)
 265         values.push_back (other_p.eval (t));
 266     }
 267
 268   if (values.empty ())
 269     {
 270       programming_error ("no solution found for Bezier intersection");
 271       return 0.0;
 272     }
 273
 274   vector_sort (values, less<Real> ());
 275   return (d == DOWN) ? values[0] : values.back ();
 276 }
 277
 278 /**
 279    Compute the bounding box dimensions in direction of A.
 280 */
 281 Interval
 282 Bezier::extent (Axis a) const
 283 {
 284   int o = (a + 1) % NO_AXES;
 285   Offset d;
 286   d[Axis (o)] = 1.0;
 287   Interval iv;
 288   vector<Real> sols (solve_derivative (d));
 289   sols.push_back (1.0);
 290   sols.push_back (0.0);
 291   for (vsize i = sols.size (); i--;)
 292     {
 293       Offset o (curve_point (sols[i]));
 294       iv.unite (Interval (o[a], o[a]));
 295     }
 296   return iv;
 297 }
 298
 299 Interval
 300 Bezier::control_point_extent (Axis a) const
 301 {
 302   Interval ext;
 303   for (int i = CONTROL_COUNT; i--;)
 304     ext.add_point (control_[i][a]);
 305
 306   return ext;
 307 }
 308
 309 /**
 310    Flip around axis A
 311 */
 312 void
 313 Bezier::scale (Real x, Real y)
 314 {
 315   for (int i = CONTROL_COUNT; i--;)
 316     {
 317       control_[i][X_AXIS] = x * control_[i][X_AXIS];
 318       control_[i][Y_AXIS] = y * control_[i][Y_AXIS];
 319     }
 320 }
 321
 322 void
 323 Bezier::rotate (Real phi)
 324 {
 325   Offset rot (complex_exp (Offset (0, phi)));
 326   for (int i = 0; i < CONTROL_COUNT; i++)
 327     control_[i] = complex_multiply (rot, control_[i]);
 328 }
 329
 330 void
 331 Bezier::translate (Offset o)
 332 {
 333   for (int i = 0; i < CONTROL_COUNT; i++)
 334     control_[i] += o;
 335 }
 336
 337 void
 338 Bezier::assert_sanity () const
 339 {
 340   for (int i = 0; i < CONTROL_COUNT; i++)
 341     assert (!isnan (control_[i].length ())
 342             && !isinf (control_[i].length ()));
 343 }
 344
 345 void
 346 Bezier::reverse ()
 347 {
 348   Bezier b2;
 349   for (int i = 0; i < CONTROL_COUNT; i++)
 350     b2.control_[CONTROL_COUNT - i - 1] = control_[i];
 351   *this = b2;
 352 }
 353
 354 /*
 355   Subdivide a bezier at T into LEFT_PART and RIGHT_PART
 356   using deCasteljau's algorithm.
 357 */
 358 void
 359 Bezier::subdivide (Real t, Bezier *left_part, Bezier *right_part) const
 360 {
 361   Offset p[CONTROL_COUNT][CONTROL_COUNT];
 362
 363   for (int i = 0; i < CONTROL_COUNT; i++)
 364     p[i][CONTROL_COUNT - 1 ] = control_[i];
 365   for (int j = CONTROL_COUNT - 2; j >= 0; j--)
 366     for (int i = 0; i < CONTROL_COUNT - 1; i++)
 367       p[i][j] = p[i][j + 1] + t * (p[i + 1][j + 1] - p[i][j + 1]);
 368   for (int i = 0; i < CONTROL_COUNT; i++)
 369     {
 370       left_part->control_[i] = p[0][CONTROL_COUNT - 1 - i];
 371       right_part->control_[i] = p[i][i];
 372     }
 373 }
 374
 375 /*
 376   Extract a portion of a bezier from T_MIN to T_MAX
 377 */
 378
 379 Bezier
 380 Bezier::extract (Real t_min, Real t_max) const
 381 {
 382   if ((t_min < 0) || (t_max) > 1)
 383     programming_error
 384     ("bezier extract arguments outside of limits: curve may have bad shape");
 385   if (t_min >= t_max)
 386     programming_error
 387     ("lower bezier extract value not less than upper value: curve may have bad shape");
 388   Bezier bez1, bez2, bez3, bez4;
 389   if (t_min == 0.0)
 390     bez2 = *this;
 391   else
 392     subdivide (t_min, &bez1, &bez2);
 393   if (t_max == 1.0)
 394     return bez2;
 395   else
 396     {
 397       bez2.subdivide ((t_max - t_min) / (1 - t_min), &bez3, &bez4);
 398       return bez3;
 399     }
 400 }